Transformées de Fourier et de Laplace : applications au traitement du signal

Thèmes abordés

Transformées de Fourier et de Laplace, applications au traitement du signal, signaux aléatoires, conversion analogique numérique, échelon unité, signal analogique, systèmes linéaires, produit de convolution, impulsion de Dirac

Résumé du document

Le titre de ce cours nécessite quelques explications, et en premier lieu, il apparaît nécessaire de définir les termes. Signal : nous appelons signal, toute grandeur physique susceptible de varier dans le temps ou dans l'espace. Traitement : c'est la transformation d'un signal en un autre signal plus intelligible pour l'utilisateur qu'il soit homme ou machine. Pour des raisons de facilité, le traitement du signal se fait généralement sur des signaux électriques, mais il existe des traitements par voie acoustique ou optique, ce dernier est en plein essor.

Extraits

[...] Transformation de Laplace - Calcul symbolique 6-1 Introduction Nous avons vu au chapitre 5 qu'il était théoriquement possible de déterminer la réponse d'un système à une excitation quelconque grâce à la transformation de Fourier, cependant, pour des signaux transitoires, le calcul de la transformée inverse est souvent difficile, on peut alors se demander s'il est judicieux de décomposer les signaux transitoires en signaux sinusoïdaux élémentaires. Nous allons montrer que l'utilisation de signaux exponentiels décroissants conduit à une résolution plus systématique et souvent plus simple du problème posé. C'est l'objet de la transformée de Laplace. [...]

[...] C'est donc une véritable science nouvelle que Laplace greffait sur les principes de la gravitation universelle newtonienne. Mais en lui donnant, dès 1796, le nom de mécanique céleste, il ne faisait que la désigner d'après la nature des problèmes qui l'avaient tout d'abord retenu. Il ne tarda pas à y englober d'autres phénomènes, comme celui des marées et de la stabilité des mers, ou encore la constance de la rotation diurne de la Terre. En s'élargissant, l'application mathématique touchait non seulement à de nombreux domaines de la physique, comme celui des fluides et de la chaleur, mais encore à la question fondamentale et très générale du système du monde. [...]

[...] Ce signal peut être décomposé en série de Fourier sous la forme : Le courant qui traverse ce circuit est aussi périodique, nous pouvons donc l'écrire : La relation est valable pour chacune des composantes de pulsation nω0=2nπν0, on peut donc écrire : Ce qui permet de calculer la tension totale aux bornes du circuit par : En inversant la relation il est aussi possible d'écrire : qui permet de calculer le courant à partir de la tension. 5-3-3 Excitation par un signal de forme quelconque. [...]

[...] Calculons la transformée de Fourier de x(t-θ). (3-118) Posons : (3-119) On obtient : (3-120) Conclusion : (3-121) Un décalage temporel du signal modifie la phase des composantes de spectre du signal sans en modifier l'amplitude Décalage en fréquence. Calculons la transformée de Fourier inverse de (3-122) Posons : (3-123) On obtient : (3-124) Conclusion : (3-125) Un décalage en fréquence du signal modifie la phase des composantes temporelles du signal sans en modifier l'amplitude Théorème de Plancherel. On se propose de calculer la transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions f et g qui possèdent chacune une transformée de Fourier F et G. [...]

[...] Enfin, il envisage les problèmes plus connus aujourd'hui sous le nom de convergence stochastique et qui visent à fournir des données pour la décision, dans le resserrement des intervalles de probabilité. La foi en la possibilité de dégager des expériences multipliées des rapports constants, susceptibles de fonder des règles de conduite, est un besoin incoercible de l'esprit humain, et en cherchant après bien d'autres à mettre la spéculation mathématique au service de cette idée simple, Laplace n'est pas essentiellement novateur. [...]