Etude et modélisation de la trajectoire d'une balle de tennis

Résumé du document

Détermination de l'équation du mouvement d'une balle de tennis et résolution numérique du problème posé (ci-dessus) à l'aide de Matlab. Le code principal est fourni en annexe.

Extraits

[...] Selon le sens de rotation, la force résultante de ce phénomène provoquera un effet de portance dans un cas, l'inverse dans l'autre. L'étude complète, lors de l'introduction de la portance, s'effectuera selon ces deux cas distincts. En premier lieu, nous considèrerons que 1y et dans un second temps, 1y De plus, pours toutes les questions touchant au filet, nous avons émis l'hypothèse qu'il fallait que la balle touche ou passe juste au dessus du sommet du filet pour considérer la vitesse minimale recherchée. PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D'UNE BALLE DE TENNIS Page SANS PORTANCE ET SANS TRAINEE. [...]

[...] La direction de la force est la même que le produit vectoriel de l'axe de rotation et du vecteur vitesse. On peut également appliquer un modèle de Bernoulli pour obtenir l'intensité de la force induit par l'effet Magnus. est une constante 4 FL M (sur le schéma) CL 2 d 3 ) v 1L où v 3 v PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D'UNE BALLE DE TENNIS Page 4 4 4 m aL CL 2 d 3 ) v 1L si on divise par la masse : aL CL 2d 3 ) v 1L m On introduit alors une nouvelle constante : K L CL On obtient alors : 4 2 d 3 ) ( sans dimension ) 3 m aL K L v 1L 2.4 EQUATION DU MOUVEMENT DE LA BALLE DE TENNIS. [...]

[...] Question : Quel effet la force de portance provoque t elle sur la trajectoire de la balle ? le vecteur de rotation Dès maintenant, trois paramètres entrent en jeux : v0 le vecteur vitesse initiale l'angle de lancement Pour facilité l'étude, nous allons observer l'influence seule du paramètre balle de tennis pour un v0 et fixé Prenons : sur la trajectoire de la 15m / S 0.7 radians et faisons varier 0 50 tours par seconde portée de la balle de tennis en fonction de la rotation propre de la balle portée de la balle ( en mètres ) -60 L'échelle négative de la rotation de la balle est choisie ainsi pour bien spécifier que le vecteur rotation est 1y -50 -40 -30 -20 -10 rotation propre de la balle en tours par seconde 0 PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D'UNE BALLE DE TENNIS Page 21 On observe sur ce graphique, que inversement au cas précédant, que la portée augmente avec le nombre de rotation de la balle par seconde. [...]

[...] De plus, l'angle initial de lancement influencera également l'aplatissement de la deuxième partie de la trajectoire (après rebond). Ceci rendra le coup plus difficilement jouable et récupérable par l'adversaire. Effet de la trainée sur le premier rebond Graphique des trajectoires de la balle à une v itesse initiale de 13m/s et un angle initial de 0.7 radians 16 hauteur de la balle ( en mètres ) La trainée courbera la première partie davantage Que si elle n'était pas présente. Après rebond, la Trajectoire se courbe plus fortement, la balle Remonte plus vite En rouge : sans trainée ni portance En bleu : avec trainée mais sans portance position de la balle ( en mètres) PROJET DE MECANIQUE : TRAJECTOIRE D'UNE BALLE DE TENNIS Page 25 Puisque la trainée est proportionnelle à la vitesse, observons l'effet entrainé sur le rebond pour des vitesses de plus en plus grandes à angle initial de lancement constant : Graphe de l angle de restitution en fonction de v pour theta= 0.7 radians O 1 Angle de restitution après rebond (en radians) Vitesse initiale de la balle ( Comme nous nous y attendions, on voit sur ce dessin, que au plus la vitesse initiale est élevée, au plus l'angle de restitution sera élevée et par conséquent la trajectoire plus courbée, moins plate. [...]

[...] Il faut donc adapter les formules du tir balistique. x v0t cos x 0 2 0 z v0t sin g t z0 z 2 ou t est le temps en secondes Trajectoire = parabole de tir = z g x 2 x tan z 2v cos Il nous faut donc résoudre cette équation du second degré en x pour déterminer la portée maximale du tir. (Portée lorsque z=0). tan tan 2 4 On obtient alors : xmax g zo 2v cos 2 g v cos 2 Etant donné que l'équation ci-dessus n'est pas facile à résoudre, nous utiliserons Matlab pour approcher graphiquement la solution. [...]