La théorie des erreurs

Thèmes abordés

Théorie des erreurs, topométrie, valeur vraie, moyenne arithmétique, faute, erruer systématique, erreur accidentelle, erreur fortuite, erreur aléatoire, mesurage

Résumé du document

La topométrie exige l'observation de nombreuses lectures. Une grandeur est alors définie avec une approximation limitée. Les mesures effectuées et les constructions graphiques ne sont jamais des opérations parfaites. Elles sont entachées d'inexactitudes.
Considérons la distance entre 2 points parfaitement définie ; cette distance est unique et n'a qu'une valeur vraie. C'est une valeur qu'il est impossible de connaitre. Si nous mesurons plusieurs fois cette distance, nous obtenons des résultats non tous identiques. Ces valeurs sont appelées valeurs approchées de la valeur vraie et celle que nous retiendrons dans ce cas est la moyenne arithmétique qui sera nommée la valeur conventionnellement vraie de la distance.

Extraits

[...] On utilise 4 chemins de longueurs différentes. A chacune des 4 observations, on attribue un poids inversement proportionnel à la longueur du chemin : Calculez 1. la valeur la plus probable de ΔHi les erreurs résiduelles d'observation l'écart-type de la valeur la plus probable l'écart-type de la valeur de poids unitaire, Exercice 5 Quelle est l'erreur affectant la superficie d'un terrain rectangulaire si ses dimensions sont : 25,40 0,03 et 46,36 0,02. Exercice 6 Quelle est l'erreur affectant la superficie d'un terrain triangulaire si ses dimensions sont : 25,40 0,02 et 65,28 0,04. [...]

[...] La compensation se fait de telle sorte que la somme des erreurs résiduelles soit minimale. Elle peut se faire par la répartition égalitaire ou par la répartition proportionnelle ou par les moindres carrés. Il est évident que certaines quantités obtenues sont plus faibles que d'autres, à cause des instruments utilisés, de la technique choisie et des conditions plus favorables. Lors d'une compensation, il est recommandé d'attribuer des poids différents à chaque observation. On peut définir le poids d'une observation comme la valeur de confiance, de mérite, de reproduction ou encore de la quantité de travail attribuée à une mesure relativement à une autre. [...]

[...] Soit e l'erreur vraie alors e = xi - x. Puisque x la valeur vraie n'est pas connue alors l'erreur vraie n'existe pas. Erreur résiduelle L'erreur résiduelle, notée vi, est la différence entre la valeur mesurée xi et la moyenne arithmétique de toutes les observations x : vi= xi- x. Erreur moyenne L'erreur moyenne, notée emoy est la moyenne arithmétique des erreurs résiduelles : emoy= 1nvin Ecart type L'écart type, σ encore appelé erreur quadratique, est l'erreur qui correspond au point d'inflexion de la courbe de distribution normale. [...]

[...] Le poids doit être inversement proportionnel à l'erreur standard ou l'écart type. L'écart type ou l'erreur standard de la moyenne pondérée vérifie la formule suivante : σmoy= +-1npi * vi2(n-1)1npi L'homogénéité des mesures Lorsqu'on détermine une quantité à partir de mesures linéaire et angulaire, il faut que la précision de ces mesures soit compatible, c'est-à-dire : ∆l =l∆α. TD sur les erreurs Exercice 1 Un opérateur a mesuré un certain nombre de fois une distance d et a obtenu les valeurs suivantes : 125,315 ; 125,345 ; 125,348 ; 125,315 ; 125,344 ; 125,366 ; 125,348 ; 125,350 ; 125,347 ; 125,348 ; 125,349 ; 125,344. [...]

[...] C'est une valeur qu'il est impossible de connaitre. Si nous mesurons plusieurs fois cette distance, nous obtenons des résultats non tous identiques. Ces valeurs sont appelées valeurs approchées de la valeur vraie et celle que nous retiendrons dans ce cas est la moyenne arithmétique qui sera nommée la valeur conventionnellement vraie de la distance. Des mesures donnent des valeurs non tous identiques à cause des imperfections des instruments employés et des sens de l'opérateur. Classification des inexactitudes La faute La faute est une imperfection grossière due au défaut des sens de l'opérateur. [...]