La propagation d'ondes dans un milieu non dispersif

Thèmes abordés

physique, propagation d'ondes, milieu non dispersif, onde transversale, onde longitudinale, équation de d'Alembert, ondes sonores, onde plane, fluide

Résumé du document

On considère une portion de corde, soumise à une déformation transversale de faible amplitude, de longueur...
On néglige les phénomènes dissipatifs, en supposant l'écoulement réversible. Les phénomènes de conduction thermique sont très lents.
Ainsi, on suppose l'écoulement isentropique...

Extraits

[...] - En énergie, 𝑅 = 𝐼 𝑖 𝑡) = 𝑅= 𝐼 𝑟 (0,𝑡) , 𝐼 𝑖 (0,𝑡) 𝑇= 𝐼 𝑡 (0,𝑡) 𝐼 𝑖 (0,𝑡) ⟨𝑝2 𝑖 , 𝑍1 𝐼 𝑟 𝑡) = ⟨𝑝2 (𝑍2 𝑍1 𝑟 = 𝑟2 = , 𝑝 (𝑍1 + 𝑍2 ⟨𝑝2 𝑖 ⟨𝑝2 𝑟 , 𝑍1 𝑇= 𝐼 𝑡 𝑡) = ⟨𝑝2 𝑡 𝑍2 ⟨𝑝2 𝑍1 𝑍 4𝑍1 𝑍2 𝑡 = 𝑡𝑝 = 2 (𝑍1 + 𝑍2 ⟨𝑝 𝑖 𝑍2 𝑍2 VI Ondes sphériques Équation de d'Alembert Δ𝑝1 (𝑟, 𝑡) = 1 2 (𝑟𝑝1 ) (𝑟, 𝑡) 𝑟 2 Donc on obtient l'expression de l'équation de d'Alembert suivante : 2 (𝑟𝑝1 ) 1 2 (𝑟𝑝1 ) (𝑟, 𝑡) 2 (𝑟, 𝑡) 2 𝑐 2 Bilan énergétique 𝑠𝑝ℎè𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑟 On a encore 𝜇0 𝜕𝑣1 𝜕𝑝1 𝑒 𝑟 𝑣1 = Π = = Φ= B.S. [...]

[...] 𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼 𝑖 (𝑥, 𝑡) + 𝐼 𝑟 (𝑥, 𝑡), 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑉𝑖 (𝑥, 𝑡) + 𝑉𝑟 (𝑥, 𝑡), 𝜌𝐼 = 𝑉(𝑥 𝑡) = 𝑍𝐼(𝑥 𝑡) 𝑍𝐶 𝑍 𝑍𝐶 + 𝑍 Si 𝑍 = 𝑍 𝐶 , alors il n'y aura pas d'onde réfléchie : il s'agit d'une adaptation d'impédance. B.S. P a g e 2 7 B : Ondes sonores dans les fluides I Approximation acoustique Approximation acoustique 𝑃(𝑀, 𝑡) = 𝑃0 + 𝑝1 (𝑀, 𝑡), 𝜇(𝑀, 𝑡) = μ0 + μ1 (𝑀, 𝑡), (𝑀, 𝑡) = 𝑡) 𝑣 𝑣1 Approximation acoustique : 𝑣1 𝑐, 𝜉 𝜆. [...]

[...] P a g e 1 7 II Équation de d'Alembert Définition 𝑠 2 1 𝑠 𝑐 2 2 = avec 𝑐 la célérité de l'onde. Δ𝑠 1 𝑠 𝑐 2 2 □𝑠 = 0 Solutions - Ondes planes - Ondes progressives 𝜔 𝑐 Si 𝑠(𝑥, 𝑡) = 𝑠0 cos(𝜔𝑡 𝑘𝑥 𝜑), 𝑘 = . Il y a une double périodicité, avec 𝑇 = 2𝜋 𝜔 et 𝜆 = 𝑐𝑇. Si on a une onde stationnaire, alors lorsqu'on a des conditions aux limites, alors seules certaines fréquences (modes propres) sont possibles. [...]

[...] On trouve 𝜒 𝑆 = 𝛾𝑃 de sorte que 𝜒 𝑆 𝜇0 = 𝑀 . 𝛾𝑅𝑇0 𝛾𝑅𝑇 𝑀 𝑐 𝐺𝑃 𝑇0 =300𝐾 = 347𝑚. 𝑠 III Étude énergétique Bilan local d'énergie acoustique 𝑒 𝑆 (𝑀, 𝑡) : densité volumique d'énergie sonore, 𝑡) : vecteur densité de courant d'énergie sonore, Π ℰ 𝑆 : énergie sonore. 𝑑2 ℰ 𝑆 = 𝑑ℰ 𝑆 (𝑡 + 𝑑𝑡) 𝑑ℰ 𝑆 (𝑡) = 𝑒 𝑆 (𝑥, 𝑡 + 𝑑𝑡)𝑆𝑑𝑥 𝑒 𝑆 (𝑥, 𝑡)𝑆𝑑𝑥 𝑑2 ℰ 𝑆 𝑆 𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡 De plus, 𝑑2 ℰ 𝑆 = Π(𝑥, 𝑡)𝑆𝑑𝑡 Π(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑡)𝑆𝑑𝑡 𝑆𝑑𝑥𝑑𝑡 𝑆 + div = 0 Π Densité volumique d'énergie acoustique 𝑒𝑆 = 𝜇0 𝑣1 + 𝜒 𝑆 𝑝 Vecteur densité de courant énergétique 𝑡) = 𝑝1 (𝑀, 𝑡)𝑣1 Π 𝑡) On reprend l'équation bilan des phénomènes de transport pour y substituer les deux dernières égalités : ( 𝜇0 𝑣1 + 𝜒 𝑆 𝑝1 ) + div(𝑝1 = 0 𝑣1 Intensité sonore Il s'agit du flux moyen du vecteur densité de courant d'énergie sonore. [...]

[...] On a également conservation de la vitesse à condition que 𝑆1 = 𝑆 B.S. P a g e 5 7 Coefficients de réflexion et de transmission - 𝑣 𝑟 (0,𝑡) , 𝑣 𝑖 (0,𝑡) En vitesse et pression, 𝑟 𝑣 = 𝑡𝑣 = 𝑝 𝑖 𝑡) + 𝑝 𝑟 𝑡) = 𝑝 𝑡 𝑡) 𝑣 𝑖 𝑡) + 𝑣 𝑟 𝑡) = 𝑣 𝑡 𝑡) À l'interface, { 𝑣 𝑡 (0,𝑡) , 𝑣 𝑖 (0,𝑡) 𝑟𝑝 = 𝑝 𝑟 (0,𝑡) , 𝑝 𝑖 (0,𝑡) 𝑡𝑝 = 𝑝 𝑡 (0,𝑡) 𝑝 𝑖 (0,𝑡) 𝑍1 𝑣 𝑖 𝑡) 𝑍1 𝑣 𝑟 𝑡) = 𝑍2 𝑣 𝑡 𝑡) Après simplifications, 𝑟 𝑣 = 𝑍1 −𝑍 𝑍1 +𝑍2 𝑡𝑣 = 2𝑍 𝑍1 +𝑍2 𝑟𝑝 = 𝑍2 −𝑍 𝑍1 +𝑍2 𝑡𝑝 = 2𝑍 𝑍1 +𝑍2 On remarque que 1 + 𝑟 𝑣 = 𝑡 𝑣 et que 1 + 𝑟 𝑝 = 𝑡 𝑝 . [...]