Programmation linéaire multi-objectifs (Multicritère)

Thèmes abordés

Programmation linéaire, programmation linéaire mono-objectif, programmation linéaire multicritère, Slater, Pareto, Geoffrion

Résumé du document

Cette forme s'obtient on rajoutant des variables d'écarts au système des contraintes
en cas de nécessité. Le vecteur x deviendra donc de dimension (n + α) ; n étant le
nombre de variables de décision et α le nombre de variables d'écarts.
Un PL peut admettre soit :

1. Une solution optimale unique.
2. Une infinité de solutions optimales.
3. Solution infinie.
4. Aucune solution réalisable.

Extraits

[...] Minimum de Pareto[32] Une solution est dite décision minimale de Pareto (efficace) du problème ( 1.4 s'il n'existe pas de décision qui vérifie le système d'inégalités : ( 1.6 ) Un vecteur critère est un minimum de Pareto, s'il n'existe pas d'autres vecteurs critère Optimalité de Geoffrion Une décision est dite décision minimale de Gaoffrion (proprement efficace) pour le problème ( 2.4 ) si : - est une décision minimale de Pareto. - et pour certain on a : ( 1.7 ) o Vecteur idéal Le vecteur tel que : est appelé vecteur idéal. La décision tel que est appelée décision idéale. - les poids , qui reflètent l'importance relative de chaque critère. Notons que ces paramètres peuvent également être des points cibles tels que : - Le point de référence qui est défini par des niveau d'aspiration sur chaque critère. [...]

[...] En tenant compte d'un jeu de paramètre de préférence, donné ou évalué, il est possible de définir la fonction scalarisante. Il s'agit d'une fonction : Exemple1 : (à l'aide de poids) Exemple2 : (norme Lp pondérée) Bibliographie J.P.Ignizio , Linear programming in in single and multiple objective systems, Englewood Cliffs, NJ :Prentice-Hall, 1982a. C.Romero, A general structure of achievement function for a goal programming model. European Journal of Operational Research p. 675-686. [...]

[...] Son principe est détaillé dans (voir Annexe Programmation linéaire Multicritère Si les r critères et les contraintes sont linéaires en on obtient un problème de programmat- -ion linéaire multicritère Notions d'optimalité Etant donné que les problèmes d'optimisation multicritère n'admettent que très rarement une solution idéale, quelle serait donc la solution optimale à un problème multicritère. Comme le choix d'une décision se fait sur la base des évaluations des conséquences, l'intérêt sera porté sur l'ensemble des valeurs critères. Dans de nombreux problèmes, on constate que les vecteurs critères possèdent la priorité qu'on peut améliorer une composante d'un vecteur, sans augmenter la valeur d'une de ses autres composantes au moins. Cette caractéristique a donné lieu à la définition de l'optimum de Pareto. [...]

[...] x : représente le n-vecteur des variables de décisions. C : le n-vecteur comprenant les coefficients relatifs aux variables du problème. est appelée la fonction objectif ou fonction économique. Le problème ( 1.1 ) peut aussi s'écrire sous la forme matricielle suivante : ( 1.2 ) Où : est la matrice composée des coefficients des variables x. est le m-vecteur composé des valeurs à droite des contraintes. C : le vecteur coût de dimension n associé à l'objectif du problème. [...]