Les mathématiques permettent d'exprimer simplement et efficacement les lois de la nature : c'est le langage des ingénieurs et des scientifiques. Cependant, il ne faut pas confondre les vérités déduites des mathématiques avec la réalité du monde physique. Ainsi la géométrie est essentielle à la physique et aux sciences de l'ingénieur et il est important de savoir quelle géométrie doit être utilisée pour décrire la nature, l'univers.
L'expérience montre qu'il est raisonnable d'adopter la géométrie euclidienne.
(...) Il ne faut pas confondre ces vérités avec des observations objectives concernant le monde réel. Le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre a été trouvé expérimentalement comme 3.14159 ... et non à partir d'un raisonnement abstrait.
Le théorème de Pythagore (dans un triangle rectangle la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit est égal au carré de l'hypoténuse), vérité mathématique, s'applique-t-il au monde physique ? Ce théorème est déduit en toute logique des axiomes de la géométrie euclidienne (...)
[...] Il y aura des termes en ε et ε Si x et z donnent le minimum de alors le terme en ε doit ˆetre nul. 2 2 dz1 dz dα dx1 dx + = + +ε dq dq dq dq dq dx dz dx dα = 2 + +ε + dq dq dq dq dα 1 dx dx dz =R+ε , uR= + dq R dq dq dq dx dq dz dq dv Zb I1 I = ε a z } { dx 1 dα dq dq z R dq z } u 1 dx 1 α ba = R xq z } Zb α·d dx + ε z R xq a car α est quelconque. [...]
[...] L'exp´ erience toujours montre qu'il faut appliquer, de l'ext´erieur, une action force pour modifier le mouvement d'une particule. La force est repr´esent´ee par l'objet math´ematique vecteur. Le prochain chapitre a pour but de pr´eciser et rappeler quelques r`egles importantes concernant les propri´et´es et 10 les op´erations sur les vecteurs. Nous verrons plus loin qu'il est n´ecessaire d'introduire d'autres objets math´ematiques (les tenseurs) pour repr´esenter des quantit´es physiques telles que tenseur d'inertie” ou mˆeme vecteur rotation Notion de erentiel Pour situer, d'une fa¸con g´en´erale, une particule P dans l'espace, on utilise la notion de r´ef´erentiel. [...]
[...] T2 a2 En 1677 Newton explique les lois de Kepler en introduisant le calcul diff´erentiel. Il trouve de la 3`eme loi que l'acc´el´eration centrifuge ac est proportionnelle 1/r2 avec la mˆeme constante de proportionnalit´e pour toutes les plan`etes. Il stipule que cette acc´el´eration est compens´ee par l'acc´el´eration gravitationnelle et d´erive la loi de gravitation universelle. Pour voir que la troisi`eme loi implique la gravitation universelle, nous approximons comme premi`ere approche l'ellipse par un cercle : 4π 4π 2 2π 2 = ac = rω = r T k 1 a3 k1 r 2 3`eme loi a3 4π avec k = 1.327 1020 m3 r2 k1 La loi de gravitation est = k2 GM m ur , r avec ur = rr , et G = ( 6.67259 0.00085 ) 10−11 Nkgm2 la constante gravitationnelle. [...]
[...] Le plus simple, souvent, est de projeter a et v sur le rep`ere Oex ey ez li´e R En coordonn´ees cart´esiennes : vx = p dr v = y ; 2 + 2 + 2 v = y dt R0 v = z ax = p dv ay = ; a = + + dt R0 a = z 2.2 Syst` emes de coordonn´ ees Imaginons le mouvement d'un point sur une droite (un axe). Une coordonn´ee suffit : l'abscisse. On dit que le degr´e de libert´e est de 1. Dans un plan le degr´e de libert´e est 2 et dans l'espace trois dimensions de 3. S'il n'y a aucune restriction, les coordonn´ees cart´esiennes sont sˆ urement les meilleures (sym´etrie de translation). Il existe des cas u les coordonn´ees cart´esiennes sont ´eviter. [...]
[...] On trouvera en particulier pour un syst`eme ferm´e et macroscopiquement au repos, et ne subissant pas un potentiel de l'ext´erieur, que l'´energie interne est conservative. extérieur p,ex , système fermé = 0 Soit EcM l'´energie cin´etique macroscopique du syst`eme par rapport au r´ef´erentiel R. En plus, le syst`eme est soumis des actions ext´erieures d'´energie potentielle ext´erieure, Ep,ex . Cette ´energie peut ˆetre caus´ee par un champ gravitationnel. On peut d´efinir une fonction U (´energie interne) des variables d'´etat, extensive, telle que l'´energie totale E = EcM + Ep,ex + U soit conservative, c'est-`a-dire constante lorsque le syst`eme n'´echange pas d'´energie avec l'ext´erieur. [...]
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