La mécanique analytique

Résumé du document

Il reprend deux points très importants :

- La Mécanique lagrangienne (permet la résolution des systèmes macroscopiques tels
que la mécanique des points et dans certains cas, la mécanique des fluides) ;
- La Mécanique hamiltonienne (permet notamment la résolution de systèmes
quantiques) ;

Avant d'aborder ce document, il est nécessaire de posséder les acquis mathématiques
suivants :

- Notation d'Einstein ;
- Utilisation des opérateurs tels que divergence, rotationnel, Laplacien, etc. ;
- Matrices ;
- Intégration, dérivation, dérivés partielles ;
(...)

Extraits

[...] Si U est minimal en s0, alors = 0 > 0. Potentiel gravitationnel : = m.g.U(s). En développant autour de l'équilibre, on obtient : 1 2 Nous poserons s = 0 pour simplifier les calculs. Le Lagrangien s'écrit : 1 ݏ‬ଶ = ቈ൬ ω0ଶ. sଶ቉ 2 On obtient, à l'aide de l'équation différentielle : = La solution est donc de la forme = cos 0. II) Petites oscillations à n>1 degrés de libertés. Généralisation : On impose que la position d'équilibre est stable pour TOUTES les coordonnées généralisées, c'est-à-dire que pour tout entier i,j on a : On définit comme un tenseur symétrique d'ordre 2. [...]

[...] ߲ℱ dy ߜऐ = ℱ൫ߔ , , ‫ݔ‬1൯. + ᇱ. ߜ‫ݕ‬൨ + න ൬ ൰൨. dx. dy dx 0 est extrema si : satisfait aux équations de Lagrange ; డℱ ℱ൫ߔ , , . ቚ డ௬ᇱ ߔ 11 Mécanique Analytique Chapitre MECANIQUE HAMILTONIENNE. Transformée de Legendre. Soit une fonction convexe (f'' 0). Soit un réel. y = y = p.x La transformée de Legendre est la distance maximale entre et p(x). Si est convexe, alors est unique. [...]

[...] Transformations canoniques. Définition : Rappel : Le formalisme lagrangien est invariant par une transformation de points dans l'espace de configuration. Formalisme hamiltonien : Soit l'action : ௧2 ௧2 = ߜ(න = ݐ‬ቆන ௧1 ௧1 On introduit la transformation canonique (T.C) : ) ௧2 = ߜቆන ௧1 Les intégrales peuvent être différentes. On introduit alors la fonction génératrice de la (T.C) F1 telle que : = Il existe quatre fonctions génératrices différentes : On aura donc quatre transformations canoniques différentes. Cas de la (T.C.1) : = Par identification, on obtient : = = = 1 = + Construction de la transformation canonique et Résolution : 15 Mécanique Analytique Etape 1 : Choix libre des Qi (qui simplifie généralement les équations) ; Etape 2 : Inversion : Etape 3 : On détermine la fonction génératrice F1 à l'aide de Etape 4 : On détermine Pi à l'aide de = డொ1. [...]

[...] II) ߲ℱ ൬ 0 Variations sous contraintes : multiplicateur de Lagrange : Cas général : A partir de maintenant, on se contentera de n = 1. On a une seule contrainte : on cherche y0(x) qui rend stationnaire la fonctionnelle : ௫1 Sans la contrainte : = ]ݕ[ܨ‬න ௫0 ௫1 = ]ݕ[ܩ‬න = Multiplicateur de Lagrange : ௫0 La contrainte limite les déplacements virtuels Sy. On introduit la fonctionnelle : ]ݕ[ܨ = ߣ. avec λ, le multiplicateur de Lagrange. (E.L) : + ߣ. + ߣ. ቈ ᇱ Les solutions dépendent de λ : on obtient une famille de solutions yn(x, λ). [...]

[...] avec ቐ = ଶ Dans la limite des grandes longueurs d'ondes, qn tend vers 0. Par conséquent : . q Passage au continuum : Soit la masse linéique, = = . En passant au continuum, on obtient le Lagrangien : 1 ଶ 1 ଶ . න ߤ݈. ൬ . . න E. ൬ . dx = න ℒ(ߟ, , 2 2 ଵ ଶ ப୬ ଶ On introduit la densité Lagrangienne ℒ(η, , = ଶ . ቀడ௧ቁ E. [...]