La géométrie de l'espace-temps à proximité d'un trou noir

Résumé du document

BUT

Montrez que les métriques de Schwarzschild et de Kerr sont des solutions exactes de l'équation des champs d'Einstein. Pour cela, vous calculerez, pour chacune des métriques, les tenseurs de Christoffel, de Riemann et de Ricci et vous vérifierez que toutes les composantes du tenseur de Ricci sont nulles.

L'existence des trous noirs semble avoir été discutée pour la première fois au XVIIIe siècle dans le cadre de la gravitation universelle d'Isaac Newton. La question était de savoir s'il existait des objets dont la masse était suffisamment grande pour que leur vitesse de libération soit plus grande que la vitesse de la lumière.

Mais ce n'est qu'au début du XXe siècle et avec l'arrivée de la relativité générale d'Albert Einstein que le concept de trou noir devient plus qu'une curiosité. En effet, peu après la publication des travaux d'Einstein, une solution de l'équation dite « d'Einstein » impliquant l'existence d'un trou noir central est publiée par Karl Schwarzschild (solution que nous développerons dans ce projet) (...)

Extraits

[...] Nous étudions ici le cas d'une métrique décrivant la géométrie extérieur du trou noir, soit de décrire la déformation de l'espace-temps dans le vide autour d'une masse sphérique. Or dans le vide le tenseur énergie impulsion vaut 0 ce qui nous conduit à l'équation d'Einstein Page c Y On peut aisément vérifier cette équation car le tenseur de Ricci Y 0 ainsi que la courbure scalaire qui découle de Ricci vaut également 0. La métrique de Schwarschild, est une solution de l'équation d'Einstein dans le vide. [...]

[...] Le premier objet contenant un trou noir fut la source de rayons X Cygnus X-1. Le terme de trou noir quant à lui fut introduit dans le courant des années 1960, par l'intermédiaire du physicien américain Kip Thorne. Auparavant, on utilisait les termes de corps de Schwarzschild ou d'« astre occlus Page 3 CONCEPTS MATHEMATIQUES, DEFINITIONS & NOTIONS ESPACE-TEMPS C'est vers 1900 que la notion d'espace-temps apparait pour la première fois. Elle fut introduite notamment par la théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein dans le concept de la géométrie de l'espace et du temps et également par Minkowski. [...]

[...] On les utilise en géométrie de l'espace de façon très concrète malgré des calculs long du au nombre de terme impliqués. Heureusement pour nous, nous utiliserons le logiciel Maple afin de venir a bout de ces calculs pour les métriques K1L et K2L considérées. On définit le symbole de Christoffel de première espèce par l'expression suivante : Y b q c L Les symboles de deuxième espèce sont défini par Y Page 5 D'où Y q c ) b TENSEUR DE RIEMANN Le tenseur de Riemann découle du calcul des dérivés covariants du symbole de Christoffel. [...]

[...] 2008/2009 GEOMETRIE DE L'ESPACE L'ESPACE'ESPACE-TEMPS A PROXIMITE D'UN TROU NOIR PASCAL Romain M1 PHYSIQUE SOMMAIRE INTRODUCTION . P .BUT . P .HISTORIQUE . P CONCEPTS MATHEMATIQUES, DEFINITIONS & NOTIONS . P ESPACE-TEMPS . P METRIQUE . P.4 .DEFINITION . P.4 .KERR . [...]

[...] Cette limite de masse portera même le nom de limite de Chandrasekhar. Lev Davidovitch Landau fait la même découverte à peu près en même temps. En 1939, Robert Oppenheimer et George Volkoff découvre la limite de masse d'une étoile à neutrons. Cette limite porte le nom de limite de Page 6 Oppenheimer-Volkoff met les recherches ne vont pas plus loin a cause de la guerre. Tout cela lance un nouvel intérêt pour les trous noirs et de nombreux scientifiques font des recherches sur ce phénomène comme Roger Penrose, John Wheeler qui est le premier a donné le nom de trou noir ou bien quelqu'un de plus connu Stephen Hawking qui en 1963 découvre que les trous noirs ne seraient pas complètement noirs. [...]