Fonctions et opérateurs de Green

Résumé du document

A cet effet, il sera plus simple de calculer une intégral que de résoudre une équation différentielle générale.

Ces fonctions sont le plus souvent des distributions, introduites par George Green dans l'électromagnétisme, utilisées par Neumann dans sa théorie du potentiel Newtonien et par Helmholtz en acoustique. Puis par Feynman en théorie quantique des champs sous le non« propagateurs » (...)

Extraits

[...] Et donc sera définit par les limites existantes, et les états propres propageant ou prolongeant correspondants au spectre continu: Ce type de spectre continu produit une branche de coupure le long de l'axe réel, Pour appartenant à un spectre, nous définissons deux fonctions de Green comme suite : Sachant que : Et si z est réel et et que , nous obtenons de la relation ) hermétique, ainsi que pour appartenant au spectre continu, on aura donc de et de : Ce ci implique que: Et en utilisant l'identité : On peut exprimer la discontinuité de en par la distribution : Et aussi dans la représentation I-15 devient : Alors que pour l'élément de la matrice diagonale, nous obtenons à partir de et Ainsi que si on intègre dans tout l'espace, on obtient : Sachant que est la densité d'état en : Et que la densité d'état par unité de volume en point et en est définit par la fonction : On obtient de : et On peut déduire alors que la densité d'état est : La connaissance de la fonction de Green nous permet d'obtenir immédiatement la solution de l'équation inhomogène Ou la fonction inconnue vérifie les conditions aux limites comme et est une fonction donnée, et en tenant compte il est facile alors de montrer que la solution est : Fonction et opérateur de green dépendants du temps : - La fonction de Green correspondante aux équations différentielles partielles homogènes de premier ordre par rapport au temps : est défini comme solution de l'équation : - On exprime ou en terme de sa transformé de Fourier : et à partir des relations II-4 et II-3 on obtient : ainsi que de l'équation II-5, on déduit : Car l'équation est équivalente à Et Puisque est une fonction analytique complexe avec des singularités (pôles et branches de coupure) sur l'axe réel, on doit utiliser les limites afin de définir : Donc de on peut obtenir un nombre infini de fonctions de Green ou chacune correspond à un chemin proche de l'axe réel (seul deux chemins ont un intérêt physique et sont illustrer dans la figure ci dessous) et leur expressions de et sont : Il est utile de considérer la quantité dénotée par définit par une différence de deux fonctions de Green et ou la quantité peut être exprimée comme intégral de sur un contour fermé qui inclus l'axe réel partiellement ou totalement pour obtenir : Figure: les chemins d'intégration dans le plan complexe du pour obtenir et et ,tel que et correspondent à l'équation différentielle de premier ordre par rapport au temps. Les singularités de l'intégral se trouvent dans l'axe réel de . Tel que est l'intégral du le long du contour montré dans la partie ( c ) de la figure ou les chemins d'intégration de peuvent être fermés par un demi cercle du rayon infini dans le demi plan inférieur (supérieur). [...]

[...] A cet effet, il sera plus simple de calculer une intégral que de résoudre une équation différentielle générale. Ces fonctions sont le plus souvent des distributions, introduites par George Green dans l'électromagnétisme, utilisées par Neumann dans sa théorie du potentiel Newtonien et par Helmholtz en acoustique. Puis par Feynman en théorie quantique des champs sous le non« propagateurs Fonction et opérateur de green indépendants du temps : DEEFINITION : On peut définir les fonctions de Green comme solutions des équations différentielles inhomogènes de type : est un opérateur différentiel possédant un ensemble complet de fonctions propres Ici, nous supposons que z est une variable complexe : , n indique la fonction propre correspondante et l'ensemble orthonormé vérifiant les relations : Note : n peut prendre une valeur du spectre discrète ou continue, donc : Et indique l'addition sur les fonctions propres qui appartient au spectre discret et l'intégration sur le spectre continu. [...]

[...] Pour évaluer , il est commode d'utiliser la représentation des cordonnées. Soit positif, on exprime l'opérateur de Green libre dans la représentation des coordonnées par : Posons : et on a : Introduisons les coordonnées sphériques du par rapport à la direction , effectuant l'intégral sur et , on trouve que : Pour effectuer cette intégrale, il est utile de considérer q comme une variable complexe représentée, il est aisé de monter que l'ajout, au parcourt d'intégration,du demi cercle de rayon infini dans le demi plan inférieur ne produit aucun apport additionnel à l'intégral. [...]

[...] Le problème c'est qu'on ne connais pas explicitement G par ailleurs, nous allons voir à l'instant qu'on peut connaître de manière exacte de l'équation Lippmann Schwinger. Il est clair que si z n'est pas réel, on a : Et si z=E ( valeur positive l'équation (III-14) reste valable au sens de continuation analytique, on trouve : II- Fonction de Green : La relation III-15 dans la représentation des coordonnées constitue une équation intégrale pour la fonction d'onde mais elle peut aussi servir de base à une représentation du vecteur , en effet : On utilise l'équation intégrale ou la représentation en série , la détermination de à partir de requit la connaissance de l'opérateur de Green libre . [...]

[...] Opérateur de Green : Soit H l'hamiltonien d'une particule à trois dimensions, on peut écrire : Tel que l'hamiltonien d'une particule libre .Nous supposons que V potentiel ne dépend pas du temps et que : Soit z une variable complexe, on définit l'opérateur de Green associé à l'hamiltonien H comme : I représente l'opérateur identité .L'opérateur de Green est une fonction de la variable il est lié à l'opérateur d'évolution .En effet, pour tout z dans le demi plan supérieur, On peut écrire : L'équation (III-6) est singulière si z coïncide avec une valeur propre de c'est-à-dire une valeur négative correspondant à l'énergie d'un état lié, ou toute valeur positive de la même façon qu'on définit G à partir de l'hamiltonien on peut définir un opérateur de Green d'une particule libre: L'équation (III-7) associée à est singulière aux valeurs positives de z. Par ailleurs : Cette équation s'appelle l'équation de Lippmann Schwinger, elle sert à développer en série la fonction d'onde associée à un processus de diffusion. [...]