Etude physique et numérique des oscillateurs

Résumé du document

Le comportement dynamique des systèmes est un sujet très important en physique. Un système mécanique par exemple, se traduit par des déplacements, des vitesses et des accélérations. Un système électrique ou électronique, se traduit par des tensions, des intensités et des dérivées temporelles sur ces quantités. En général, les équations utilisées pour décrire de tels comportements dynamiques sont du second ordre et non linéaires. Elles incluent des quantités inconnues représentant les fonctions recherchées et leurs dérivées. Grâce à Matlab, nous allons résoudre dans ce dossier l'équation différentielle qui régit le pendule simple amorti. Il faut savoir que Matlab est un outil puissant, complet destiné au calcul scientifique. Il apporte aux ingénieurs, aux chercheurs et à tout scientifique un système interactif intégrant calcul numérique et visualisation. Il dispose de plusieurs centaines de fonctions mathématiques, scientifiques et techniques. Grâce aux fonctions graphiques de Matlab, il devient très facile de modifier de façon interactive les différents paramètres des graphiques pour les adapter selon nos souhaits. Malgré nos faibles connaissances concernant le langage informatique exigé par Matlab nous allons tenter de montrer combien ce logiciel est utile.

Dans un premier temps nous réaliserons donc une étude mathématique et avons utilisé Matlab comme un outil tel que pourrait l'être un tableur afin de résoudre l'équation différentielle du second ordre régissant le comportement du pendule simple amorti. Ensuite, nous analyserons une approche plus physique et nous chercherons les solutions de l'équation différentielle suivant les trois régimes possibles différents que sont les régimes apériodique, périodique et pseudopériodique. Nous nous attacherons également à faire l'analogie entre le ressort élastique horizontal amorti, le circuit électronique RLC et le pendule simple amorti. Enfin notre étude portera sur la résolution de l'équation du mouvement du pendule par des méthodes numériques connues telles que la méthode d'Euler et celle de Runge-Kutta mais aussi grâce aux fonctions ODE23 et ODE45 proposées par Matlab pour résoudre ce genre de problème.

Extraits

[...] Le programme sous Matlab sera donné en annexe. Nous avons pris les mêmes conditions que pour la méthode d'Euler, avec un pas toujours de 0.01 Nous voyons donc que pour un même pas la méthode de Runge Kutta d'ordre 2 est plus performante que la méthode d'Euler, car les points de la sinusoïde amortie semblent mieux se confondre avec les points de l'enveloppe théorique. La méthode de RungeKutta permet donc d'obtenir des approximations beaucoup plus précises en terme d'ordre de précision en diminuant l'erreur numérique. [...]

[...] Nous avons pris un pas de 0.01 s et les mêmes conditions que lors des études précédentes, c'est-à-dire : τ= 1.2 l=1 θ0= 0.1 rad, v0=0 rad.s-1. Remarques valables pour la fonction ode45 On observe alors que cette méthode est plus précise que la méthode d'Euler, d'après le graphe on avait obtenu auparavant. En zoomant sur la partie de la courbe autour de on remarque que la méthode ode23 comporte des erreurs qui semblent être du même ordre de grandeur que la méthode de Runge Kutta d'ordre 2 que nous avons vu précédemment. [...]

[...] Le programme sous Matlab sera donné en annexe. La méthode nous permet d'obtenir le graphe suivant, correspondant au tracé de la position en bleu ainsi que le tracé en rouge de l‘enveloppe théorique : Nous avons pris un pas de 0.01 s et les mêmes conditions que lors des études précédentes, c'est-à-dire : τ= 1.2 l=1 θ0= 0.1 rad, v0=0 rad.s-1 Ce graphe permet de voir que la méthode d'Euler, de par sa simplicité, est imprécise car les points extremums de la sinusoïde représentant la position en fonction du temps n'appartiennent pas à l'enveloppe théorique de décroissance. [...]

[...] Etude physique et numérique des oscillateurs Introduction Le comportement dynamique des systèmes est un sujet très important en physique. Un système mécanique par exemple, se traduit par des déplacements, des vitesses et des accélérations. Un système électrique ou électronique, se traduit par des tensions, des intensités et des dérivées temporelles sur ces quantités. En général, les équations utilisées pour décrire de tels comportements dynamiques sont du second ordre et non linéaires. Elles incluent des quantités inconnues représentant les fonctions recherchées et leurs dérivées. [...]

[...] II) Rappels mathématiques Les phénomènes physiques dépendant du temps sont généralement décrits au départ par des équations différentielles. Dans le cas le plus simple, il y a une seule grandeur qui varie et on parle de système à un degré de liberté, la plupart du temps régi par une équation différentielle du second ordre. Les phénomènes naturels sont presque toujours non linéaires mais, dans de nombreux cas, l'hypothèse des petits mouvements permet d'aboutir à une excellente approximation fournie par une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre deux. [...]