Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques

Thèmes abordés

Équations de Maxwell, onde électromagnétique, analyse vectorielle, champ vectoriel, champ scalaire, laplacien, théorème de Gauss, polarisation, induction électrique, permittivité diélectrique, susceptibilité électrique, loi d'Ohm, conductibilité électrique, Ampère, Faraday

Résumé du document

Ce cours complet avec exercices corrigés et solutions détaillées porte sur les équations de Maxwell et les ondes électromagnétiques.

Il comprend notamment quelques rappels :

- " Un champ décrit une grandeur physique pouvant avoir des valeurs différentes en chaque point de l'espace et éventuellement à chaque instant (pour une grandeur qui varie dans le temps). Dans le cadre de la formulation classique de l'électromagnétisme ou électrodynamique classique, on peut rencontrer deux principaux types de grandeurs (...)";
- "Le théorème de Gauss en électrostatique relie le flux d'un champ électrostatique E ? à travers une surface fermée (S) à la quantité de charge électrique Q contenue dans le volume (V) entouré par (S) (...)" ;
- "Rappelons qu'un dipôle élémentaire simple est un système constitué d'une charge positive q situé en un point A et d'une charge négative -q situé en un point B?A et qui sont alors séparés par une distance AB (...)".

Voici les 6 premiers thèmes des exercices corrigés (sur les 16) :

- Exercice 1 : Système d'équations de Maxwell
- Exercice 2 : Champ d'induction électrique créé par une charge ponctuelle
- Exercice 3 : Champ magnétique créé par un courant rectiligne
- Exercice 4 : Condensateur plan parcouru par un courant alternatif
- Exercice 5 : Les formes locales des équations de Maxwell
- Exercice 6 : Les vecteurs E et B, perpendiculaires entre eux

Extraits

[...] Beaucoup de milieu ont aussi des comportements anisotropes. Dans un régime variable, lorsqu'on a affaire avec un champ électrique oscillant, comme c'est le cas pour une onde électromagnétique, la permittivité diélectrique dépend le plus souvent de la fréquence d'oscillation ? du champ : Exemple 1 : A la température ? 20°?, la constante diélectrique de l'eau, par exemple passe d'une valeur ? 80 lorsque la fréquence ? du champ électrique est inférieur à 10 ??? vers une valeur ? < 10 pour ? voisin de 100 ??? Exemple 2 : Pour un métal, on peut montrer que la permittivité diélectrique ? est une fonction qui dépend de la pulsation ? = 2?? du champ électrique. [...]

[...] ? 12 Ì?0 ?0 Cette vitesse n'est autre que la vitesse de la lumière dans le vide. La lumière étant un exemple typique d'onde électromagnétique Les différentes couleurs qui correspondent aux différentes types de lumières visibles correspondent en fait à des \ différentes valeurs de la longueur ? ou de la fréquence ? = ] qui correspondent aux ondes électromagnétiques visibles par l'œil. Pour ces ondes électromagnétiques ou lumières visibles, ? varie entre 380. 101D ? (violet) et 780 . [...]

[...] Le gradient de ? , noté ???? vectoriel qui est lié à ?? par la relation ?? = ?? décrit donc les variations de ? suivants les diverses directions de l'espace : si ? est croissante dans une direction (et sens) donnée son gradient aura une composante positive dans cette direction. Inversement si ? est décroissante dans une direction (et sens) donnée son gradient aura une composante négative dans cette direction. Et si ? est constante dans une direction, son gradient aura une composante nul dans cette direction : en d'autre terme, le vecteur gradient serra localement perpendiculaire à de ? est localement perpendiculaire aux lignes cette direction. Ainsi le gradient de niveau de ? (courbes sur lesquelles ? est constante). [...]

[...] Supposons que la densité de charge ? = est contenue dans un volume entourée par une surface fermée La charge électrique totale instantanée contenue dans est ? = = M ??? La variation de ? par rapport au temps correspond à des sorties ou entrées de charge dans le volume Il correspond donc à cette variation de ? un courant électrique. Si on compte comme positive un courant ? sortant du volume on a la relation ?? = )?? ?? 19 En introduisant le vecteur densité de courant électrique sortant du volume on peut aussi écrire (par définition de la relation suivante (on a utilisé pour la dernière égalité le théorème de flux-divergence de Green-Ostrogradski) = ??)?? ? = L ?. [...]

[...] les champs et ? ?2 la permittivité électrique du milieu 1 et celle du milieu 2 d'autre part. Montrer qu'on a la relation ??? (?2 ) = ??? ) ?2 Comme dans la section 4.2 du cours, on note respectivement = le vecteur unitaire normal à la surface selon un point de vue relatif au milieu 1 : = est dirigé vers l'extérieur du milieu 1 (vers le milieu 2). Et = = le vecteur unitaire normal à la surface selon un point de vue relatif au milieu 2 : = est dirigé vers l'extérieur du milieu 2 (vers le milieu 1). [...]