La dynamique d'une grue

Résumé du document

Le but de ce BE est l'étude de la dynamique d'une grue. Afin qu'une grue soit opérationnelle, il est nécessaire qu'elle puisse résister à un certain nombre de situations auxquelles elle sera amenée à être soumise, de façon tout à fait quotidienne. En effet, lors de son utilisation, il est fréquent de devoir effectuer un arrêt d'urgence, ce qui perturbe le comportement en marche de la grue, ou encore elle peut subir une rupture d'élingue, lorsque le chargement est élevé. Il nous faut donc établir une prévision du comportement de notre grue pour différents chargements et situations. Un cahier des charges doit être établi au préalable pour connaître sa tolérance à ses situations.

Extraits

[...] La phase statique est régie par : . Elle est donc facilement déterminée. La phase dynamique, quant à elle, est régie par l'équation écrite plus haut, et par la condition initiale F=0. Ce qui nous donne facilement B(0)=Bs et . On cherche alors les solutions sous la forme : . L'équation devient donc : Soit : et donc Ce qui nous donne l'expression finale : A l'aide des conditions initiales, on obtient : et Nous pouvons ainsi déterminer notre B à l'aide d'un programme Matlab. [...]

[...] Les conséquences sont les suivantes : 2.4 ) Hypothèse sur le mat On considère que le mat OA est une poutre droite, ce qui nous permet d'écrire que : 3. Résolution du problème par la méthode de Rayleigh-Ritz 3.1 ) Choix d'un champ cinématique admissible Pour pouvoir appliquer la méthode de Rayleigh-Ritz, il faut absolument travailler avec un champ des déplacements qui soit cinématiquement admissible avec le problème considéré. Voici les conditions que doit vérifier le champ des déplacements : En O : encastrement En A : continuité et intégrité de la structure Le mat étant une poutre droite ne travaillant qu'en flexion et encastrée en on a : La flèche étant également une poutre droite selon on a la condition suivante : 3.2 ) Mise sous forme de polynômes On se propose de mettre les déplacements sous forme polynomiale : Dans notre cas, on choisit de se limiter à N=2 ce qui permet d'obtenir une bonne approximation. [...]

[...] La matrice de changement de base est alors . Les nouvelles matrices de raideur, de masse et de forces extérieures sont données par : Nous n'avons pas réussi à réaliser les calculs sous Matlab pour déduire le mouvement de certains points bien choisis car nous n'avons pas pu faire fonctionner les programmes fournis sans explication Etude du modèle éléments finis en 3D 6.1 ) Détermination des six premiers modes propres La valeur des fréquences propres dépend du nombre de nœuds choisis. [...]

[...] Voici les captures correspondant à ces observations : Déplacement du point A selon x Déplacement du point A en rotation autour de z Déplacement du point B selon x Déplacement du point B selon y Déplacement du point B en rotation autour de z 6.3 ) Arrêt d'urgence De la même manière que pour la partie précédente, voici les résultats obtenus avec le logiciel : On note que la perturbation due à l'arrêt d'urgence se fait hors plan. Remarquons que nous avons très mal modélisé ce comportement avec nos hypothèses. Voici les captures d'écran qui correspondent. Déplacement du point A selon z Déplacement du point A en rotation autour de y Déplacement du point B selon z Déplacement du point B en rotation autour de y Conclusion Bien qu'ayant effectué des hypothèses grossières lors de la modélisation, les résultats obtenus sont cohérents avec ceux de l'approche éléments finis. [...]

[...] Notons toutefois que l'hypothèse d'un problème 2D est clairement erronée. De plus, la méthode analytique montre ses limites dans la détermination précise de la fréquence de résonance des modes propres autres que le premier. Pour améliorer sa précision, il faudrait augmenter le degré des polynômes qui modélisent le déplacement des poutres. En conclusion, l'approche analytique permet rapidement d'avoir des ordres de grandeur sur les phénomènes mis en jeux et constituer donc, une première approche. [...]