Diversité des écoulements autour d'un cylindre

Résumé du document

Si l'étude de l'écoulement autour d'un cylindre indéfini a été largement développée au cours des années, de la théorie des écoulements potentiels à l'étude des simulations des écoulements, c'est qu'il présente de nombreux intérêts. Autour d'une forme a priori simple, tant du point de vue théorique que de celui de la mise en œuvre pratique, on peut observer la totalité des régimes pouvant intervenir lors de l'écoulement d'un fluide autour d'un obstacle.

On passe successivement de comportements linéaires et stables à des situations qui ouvrent la voie à la non linéarité et au chaos. Force est de constater que de la seule variation du nombre de Reynolds, qui fait intervenir les paramètres caractéristiques de l'écoulement (viscosité, vitesse, dimensions de l'obstacle), dépend une multitude de phénomènes. Cette première dualité est à mettre en avant.

En outre, le modèle du fluide parfait en écoulement permanent et incompressible autour d'un cylindre, s'il peut paraître archaïque étant donné le paradoxe de d'Alembert, n'en reste pas moins la référence en ce qui concerne l'écoulement à grande distance des obstacles, où l'effet de la viscosité est faible. Ainsi, cette théorie est utilisée pour calculer l'écoulement autour de structures aussi variées que l'aile d'un avion ou la quille d'un voilier, ce qui est facilité par l'utilisation de transformations conformes.
Par ailleurs, le fait que le potentiel soit solution de l'équation de Laplace permet de réaliser des observations directes des écoulements en procédant par analogie avec d'autres domaines physiques tels que l'électrocinétique des conducteurs ohmiques en régime permanents, en l'absence d'effet d'induction. C'est la seconde dualité que l'on révèle : la dualité entre les différents domaines scientifiques.

L'étude du fluide réel est plus complexe. Même à de faibles nombres de Reynolds (1-5), nous sommes amenés à effectuer certaines hypothèses simplificatrices, afin de nous affranchir du paradoxe de Stokes. Toutefois, cette étude s'avère fructueuse, car elle permet de lever le paradoxe de d'Alembert, et de trouver des résultats qui sont proches de l'expérience en ce qui concerne la traînée du cylindre.

L'étude des nombres de Reynolds modérés (10-200) montre la nécessité de distinguer deux zones d'écoulement : la couche limite proche de l'obstacle, et l'écoulement potentiel, à grande distance de ce dernier. Ainsi apparaît-il une dualité d'échelle. On constate un décollement possible de cette couche limite, et l'apparition de tourbillons contrarotatifs. Ces tourbillons alternés peuvent être lâchés de manière périodique, entraînant une excitation de la structure, pouvant provoquer des dégâts s'il y a résonance avec une fréquence propre du matériau. Ainsi, l'étude de l'écoulement autour d'un cylindre permet de prévoir de tels comportements.

Enfin, à de grands nombres de Reynolds, l'écoulement devient turbulent : les phénomènes sont non linéaires, et peuvent devenir aléatoires et chaotiques. Seules des résolutions numériques des équations de Navier-Stokes sont envisageables. Le modèle du cylindre est souvent considéré pour valider des codes de calculs ou de modèles de turbulence. C'est son principal intérêt à l'heure actuelle, où la recherche en dynamique des fluides est axée sur la simulation numérique.

Extraits

[...] Le champ électrique se déduit du potentiel par la même relation que le vecteur vitesse : v = grad ϕ et E = grad V . Le champ électrique est donc l'analogue du vecteur vitesse. On en déduit que les lignes de champ électrique sont analogues aux lignes de courant. Les solutions de l'équation de Laplace sont uniques pour des conditions aux limites données. Il est donc possible de résoudre notre écoulement par analogie avec une situation similaire en électrostatique. [...]

[...] Ainsi, une transformation conforme est une transformation qui conserve les angles. En résumé, une transformation conforme dans le plan est une transformation d'un domaine du plan dans un plan, cette transformation conservant les angles entre deux courbes orientées. Autrement dit, c'est localement une similitude directe. Si la transformation fait correspondre un point M à un point elle peut s'interpréter dans le plan complexe comme une relation ζ ( z ) = ζ entre les affixes de ces deux points. Lorsque la fonction ζ est analytique, la transformation est conforme. [...]

[...] Alors, nécessairement, g doit être 2π périodique . On obtient alors les dérivées partielles de la fonction ϕ : = f ' ( r ) .g (θ ) 2 ϕ 2 = f " ( r ) .g (θ ) 2ϕ 2 = f ( r ) .g " (θ ) r 2 f r ) + r f ' ( r ) Ce qui amène à la résolution de l'équation : g " (θ ) + g (θ ) = 0 où K ( r ) ne f r ) dépend que de la variable r. [...]

[...] Autrement dit, il n'y a pas de frottements entre le fluide et le cylindre. C'est là une limite du modèle du fluide parfait, qui, ne tenant pas compte des forces de viscosité, ne permet pas de rendre compte de la réalité physique observée, même pour des nombres de Reynolds de l'ordre de l'unité. Pour se rapprocher de la réalité, nous devons donc tenir compte des forces de viscosité, et donc étudier le fluide réel. INTERET DE L'ETUDE DE L'ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE. [...]

[...] Ceci justifie donc que l'on recherche la vitesse sous la forme v ( M ) = rot A ( r ,θ ) u z . ( ) En régime permanent, l'équation du mouvement du fluide s'écrit : gradP v.grad v = + v ( ) ρ Or v.grad v = vr + vθ v n'est pas linéaire, ce qui rend toute résolution générale impossible. vR On va donc se limiter au cas d'un faible nombre de Reynolds. [...]