Les diagrammes asymptotiques de Bode

Résumé du document

L'étude des systèmes comportant une commande d'entrée et fournissant une réponse en sortie se retrouve dans de nombreux domaines de la physique : amplificateur en électronique, systèmes mécaniques, etc.

La modélisation de ces systèmes montre rapidement que si dans la vie courante on s'intéresse à leur observation en fonction du temps, la compréhension de leus caractéristiques nécessite une analyse de leur comportement en fonction de la fréquence, et plus précisément en étudiant leur « fonction de transfert » ou « transmittance ».

Extraits

[...] Les diagrammes asymptotiques de Bode L'étude des systèmes comportant une commande d'entrée et fournissant une réponse en sortie se retrouve dans de nombreux domaines de la physique : amplificateur en électronique, systèmes mécaniques, etc. La modélisation de ces systèmes montre rapidement que si dans la vie courante on s'intéresse à leur observation en fonction du temps, la compréhension de leur caractéristiques nécessite une analyse de leur comportement en fonction de la fréquence, et plus précisément en étudiant leur fonction de transfert ou transmittance On désire étudier le comportement d'une fonction de transfert H(jω) en fonction de la fréquence f (ou de la pulsation ω = 2πf). [...]

[...] Nous avons 2. Fonction du type F D ( ) : 5 donc pour une valeur de ω donnée les valeurs du gain et de l'argument de FD(jω) qui sont les opposés des valeurs du gain et de l'argument de FN(jω). On en déduit immédiatement les courbes correspondant à 1 GD(jω) et ϕD(jω), en posant : ! D = , qui sont les symétriques des précédentes par rapport à l'axe des abscisses. GD 0 0,1!D log! 10!D 0,1!D 0,5!D 2!D 10!D log! [...]

[...] " P ( avec : 1 F o ( ) = ( o ) ; F N ( ) = N ) ; F N ' ( ) = ) F D ( ) = ; F ( ) = ; F P ( ) = # D ) ) P % P ) 2 En exprimant le gain de la transmittance en décibels à partir de la définition suivante : G H ) = 20log ) et puisque log(a.b) = loga + logb, on arrive à : G H ) = GK + " .Go ) + # .GN ) + $ .GN ' ) + % .GD ) + &.GD' ) + GP ) avec : GK = 20logK ; Go ) = 20log o ; GN ) = 20log1+ N ; GN ' ) = 20log1+ N GD ) = 20log ; GD' ) = 20log ; GP ) = 20log D P $ P ) 2 On trouve de même, puisque Arg(z1.z2) = Arg(z1) + Arg(z2), pour l'argument de la transmittance : ! H ) = ! K + # o ) + $ N ) + % N ' ) + & D ) + ) + ! P ) avec : ! K = Arg(K) ; ! o ) = Arg"# o ; ! N ) = Arg(1+ N ) ; ! [...]

[...] N ) = 20log = 20log " 1dB la courbe réelle est à seulement 1dB au-dessus de l'asymptote N ) = 20log 4 = 20log 5 " 7dB la courbe réelle est à seulement 1dB au-dessus de l'asymptote car en ce point on est à l'octave de ωN et l'asymptote est à 6 dB (car 6 dB / oct) * courbe de phase : on a ! = Arg(1+ ) = arctan("# ) donc avec ! N = ! N ) = Arc tan(1) = ; ! ( 1 on trouve : 1 ) = Arc tan( ) # ; ! N ) = Arc tan(2) # * Tracé des courbes réelles : (asymptotes en pointillé et courbes réelles en continu) GN + 0,1!N 10!N log! 0,1!N 0,5!N 2!N 10!N log! [...]

[...] Les courbes de phase sont plus éloignées des asymptotes. Ceci a une moindre importance car c'est la courbe de gain qui est le plus souvent utilisée. La courbe asymptotique de phase permettra cependant une assez bonne approche du comportement. Pour une courbe idéalisée un peu plus précise une proposition est faite en annexe. On se contentera donc, pour une première approche, de l'allure générale des courbes de G(ω) et ϕ(ω) en ne représentant que les asymptotes Fonction du type F P ( ) = qui peut aussi s'écrire F = 1 P $ P ) avec Q = , coefficient de qualité. [...]