Démonstration de l’influence du déplacement d’une source sur son rayonnement acoustique

Résumé du document

Ce document s'intéresse au domaine de l'acoustique en tant que source ponctuelle en mouvement. Nous chercherons par conséquent à démontrer l'influence que peut avoir le déplacement d'une source sonore sur son rayonnement acoustique dans un espace libre. L'étude de ce rayonnement fait intervenir différentes formules, notamment la fonction de Green ou de Helmholtz.

Extraits

[...] Rappel, formule de Green : où est un domaine fermé, de surface . Appliquée ici on obtient : Équations de Helmholtz : Elles nous donnent également D'où en reportant dans le membre de gauche de la première équation ci- dessous, On obtient : , ce qui est exactement la relation que nous avions admise en cours. Application à un monopole en mouvement uniforme Expression de s On a avec , on obtient , où représente la dépendance temporelle. Expression du champ rayonné La fonction de Green en espace libre s'écrit : D'où l'expression du champ rayonné en un point de l'espace à l'instant t : Expression de p Nous allons effectuer une intégration spatiale de l'équation précédemment obtenue, nous avons , car d'après la définition de la fonction de Dirac, l'intégrale précédente est nulle en tout point sauf en . [...]

[...] Au final on obtient Réécriture du champ rayonné On a où représente g et où représente f. On cherche alors à appliquer la formule Pour cela nous avons besoin de connaître la dérivée de : , D'où Or on sait que et de plus Finalement Bibliographie Jouhaneau, J., “Acoustique des salles et sonorisation”, collection Acoustique Appliquée, Lavoisier Technique & Documentation Dowling, A.P. & Fowcs Williams, J.E. : “Sound and sources of sound”. Ellis Horwood Goldstein, M. E. [...]

[...] Formule de Green : , où est un domaine fermé, de surface . Grâce à elle on obtient Nous avons : Finalement on obtient On effectue donc notre première intégration par partie, on pose et On obtient On effectue donc notre deuxième intégration par partie, on pose et On obtient En revenant à notre première formulation on arrive finalement à : De plus p et G sont des fonctions causales, donc nulle lorsque , c'est à dire, dans notre cas en . [...]