Cours de Physique Appliquée sur la Transformée de Laplace (Niveau Bac +2)

Résumé du document

[...] Afin de pouvoir résoudre des équations différentielles pour des systèmes d'ordre supérieur à 2, il est possible d'utiliser la transformée de Laplace.
Cette méthode consiste à transposer les équations différentielles (variable temps) sous la forme d'équations algébriques linéaires (variable p) afin de rendre les calculs plus simples.

[...] VII- Impédances opérationnelles

L'utilisation du calcul opérationnel est simple lorsque le circuit est initialement au repos, c'est-à-dire que les courants et tensions du réseau sont nuls à t = 0.
La représentation des impédances opérationnelles ci-dessous ne sera valable que dans ce cas.

[...] Pour déterminer la réponse s(t) d'un circuit linéaire à une entrée e(t), il n'est pas nécessaire d'établir l'équation différentielle du système, on peut travailler directement dans l'espace de la variable p :

1) On remplace :

- Tous les composants passifs par leur impédance opérationnelle (en ajoutant éventuellement les sources de tension et de courant dues aux conditions initiales).
- Toutes les sources de courant et de tension par leur transformée de Laplace (...)

Extraits

[...] Cette méthode consiste à transposer les équations différentielles (variable temps) sous la forme d'équations algébriques linéaires (variable afin de rendre les calculs plus simples. Le principe de résolution d'une équation différentielle à l'aide le la transformée de Laplace est donné ci-dessous : III- Définition A toute fonction réelle du temps on associe une fonction appelée transformée de Laplace de la fonction et définie par la relation : Exemple : Fonction échelon IV- Propriétés Linéarité : Dérivation : Intégration : Théorème du retard Soit une fonction causale, c'est-à-dire = 0 pour t [...]

[...] Le schéma équivalent est donc : Expression de l'impédance opérationnelle R Modèle équivalent de l'inductance dans le domaine en p (conditions initiales non nulles) D'après l'expression précédente, on peut établir le modèle suivant : Expression de en fonction de Expression de en fonction de avec courant initial dans la bobine Donc : Soit : L ZR(p) Modèle équivalent de la résistance dans le domaine en p Expression de l'impédance opérationnelle Expression de en fonction de = R.i(t) Expression de en fonction de = R. R Système Remarque : Il suffit de remplacer jw par p dans les impédances complexes pour obtenir les impédances opérationnelles. [...]

[...] VII- Impédances opérationnelles L'utilisation du calcul opérationnel est simple lorsque le circuit est initialement au repos, c'est-à-dire que les courants et tensions du réseau sont nuls à t = 0. La représentation des impédances opérationnelles ci-dessous ne sera valable que dans ce cas. Définition L'impédance opérationnelle ou isomorphe ou symbolique d'un dipôle linéaire, est définie pour des conditions initiales nulles, à savoir pour = 0 et = 0 : La loi d'Ohm s'écrit alors : La résistance L'inductance Le condensateur Méthode d'étude de la réponse d'un circuit linéaire Méthode Pour déterminer la réponse d'un circuit linéaire à une entrée il n'est pas nécessaire d'établir l'équation différentielle du système, on peut travailler directement dans l'espace de la variable p : On remplace : Tous les composants passifs par leur impédance opérationnelle (en ajoutant éventuellement les sources de tension et de courant dues aux conditions initiales). [...]

[...] Pour un système du premier ordre, on peut écrire : Pour un système du second ordre, on peut écrire : Pour un système d'ordre supérieur, l'équation différentielle devient trop compliquée pour pouvoir être résolue directement. Conclusion : La technique de résolution directe de l'équation différentielle régissant un circuit linéaire n'est réalisable en pratique que jusqu'à l'ordre 2. II- Présentation de la méthode utilisant la transformée de Laplace Afin de pouvoir résoudre des équations différentielles pour des systèmes d'ordre supérieur à il est possible d'utiliser la transformée de Laplace. [...]

[...] Tracer l'allure de en concordance des temps avec Si t = alors = E. Si t = ( alors = 63%E Si t = alors = 95%E Si t ( ( alors E 3ème étape : Mettre sous la forme puis effectuer sa décomposition en éléments simples (on posera ) En posant , on obtient : ou peut être décomposée en éléments simples sous la forme suivante : Soit : Donc par identification : et donc En remplaçant, on peut conclure que : soit : 2ème étape : Déterminer l'expression de D'après le diviseur de tension, on peut écrire : avec Donc : soit R = 1ère étape : Schéma équivalent du montage en notation opérationnelle t E 0 C C Modèle équivalent de la résistance dans le domaine en p (conditions initiales nulles) Si les conditions initiales sont nulles (condensateur initialement démagnétisée), on peut écrire : . [...]