La résistance des matériaux (RDM poutres)

Résumé du document

La RDM permet :
- de vérifier que les pièces d'une machine ne cassent pas,
- de calculer leurs dimensions minimales,
- de calculer la résistance minimale du matériau qui les constitue,
- de vérifier que les déformations des pièces soient compatibles avec le bon fonctionnement de la machine

RDM : méthode de calcul qui suppose que les pièces répondent à des hypothèses précises. Souvent, les pièces réelles ne satisfont pas à toutes ces hypothèses. incertitude plus ou moins importante sur les résultats.
La RDM ne permet pas de traiter les géométries et/ou les comportements mécaniques complexes (...)

Extraits

[...] section droite z Surface plane Centre de surface G ligne moyenne G y O Notion de poutre La ligne moyenne doit être droite ou son rayon de courbure doit être grand par rapport aux autres dimensions. La longueur de la ligne moyenne doit être grande par rapport aux dimensions transversales de la section droite. Les résultats sont d'autant meilleurs que la poutre est longue ! Des auteurs considèrent que les résultats ne sont précis que si la longueur est supérieure à 10 fois la largeur de la poutre et que l'incertitude est d'environ 30% si la longueur est égale à 4-5 fois la largeur. [...]

[...] Résistance des Matériaux (RDM poutres) F e f But de la Résistance des Matériaux La RdM permet : - de vérifier que les pièces d'une machine ne cassent pas, - de calculer leurs dimensions minimales, - de calculer la résistance minimale du matériau qui les constitue, - de vérifier que les déformations des pièces soient compatibles avec le bon fonctionnement de la machine RdM : méthode de calcul qui suppose que les pièces répondent à des hypothèses précises. Souvent, les pièces réelles ne satisfont pas à toutes ces hypothèses. incertitude plus ou moins importante sur les résultats La RdM ne permet pas de traiter les géométries et/ou les comportements mécaniques complexes. La Mécanique des Milieux Continus permettent un dimensionnement plus précis La RdM demeure incontournable car elle permet des calculs simples, rapides, indispensables pour un premier dimensionnement. [...]

[...] Il y a m inconnues d'efforts intérieurs (Ni avec Il y a p inconnues de liaison YA, ) L'équilibre des n nœuds donne 2n équations 1ère solution : m + p = 2n le treillis est isostatique n = m = p = 3 Isostaticité 2e solution : m + p le treillis possède des mobilités internes n = m = p = 3 3e solution : m + p > 2n le treillis est hyperstatique (nécessite la prise en compte de la déformation des barres) Déformations des barres Barre i à comportement élastique, de module Ei, de section Si, de longueur initiale Li Son allongement s'écrit : Critère de résistance : Ni Li = Ei Si σi = Ni Si Déplacement des noeuds Les déplacements sont notés : y x La connaissance de l'allongement d'une barre permet le calcul du déplacement des nœuds : Exemple Exemple Exemple Toutes les barres ont la même section S. La barre la plus chargée est la 5. Contrainte dans cette barre : N5 2F σ5 = = S S Effort maximal que peut supporter le treillis : Fmax = Sσ y 2 Plan Notion de poutre, hypothèses fondamentales Torseur de cohésion Traction-compression. [...]

[...] Section Génératrice avant déformation Couple d'axe x : C Génératrice après déformation x x Angle de rotation des sections extrêmes =α Déformation On définit l'angle unitaire de torsion θ : θ= α L avec : α : angle de rotation des sections extrêmes en radian L : distance entre les sections extrêmes (sollicitées) en m. θ : en rad/m. Le fait que α soit proportionnel à la longueur de la poutre (de section constante) permet de conclure que cet angle unitaire est constant. Déformation Angle de glissement spécifique γ : Soient deux sections droites distantes de dx. [...]

[...] Un matériau présente un comportement élastique linéaire lorsqu'il y a proportionnalité entre effort et allongement élasticité linéaire F comportement anélastique Hypothèses générales H4 : Hypothèse de Navier - Bernoulli Les sections droites de la poutre, planes et perpendiculaires à la ligne moyenne avant la déformation, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après les déformations provoquées par les actions mécaniques (pas de gauchissement de la section). Sections droites après déformation Dans le cas général, cette hypothèse n'est qu'approchée du fait des distorsions crées par les phénomènes de cisaillement. [...]