Cours d'électromagnétisme autour des équations de Maxwell

Résumé du document

Ce document est un cours très complet d'électromagnétisme autour des équations de Maxwell. Dans le premier chapitre sur la charge électrique, on définit la charge et les distributions de charge avant de faire quelques rappels mathématiques. Ensuite, dans le second chapitre sur le champ électrostatique, on introduit la force de Coulomb et le théorème de Gauss. Puis dans le chapitre sur le potentiel électrostatique, on discute de la circulation électrique et on détaille le potentiel de diverses configurations de charges ; on ajoute aussi quelques compléments mathématiques de calcul d'opérateurs différentiels. Le quatrième chapitre est consacré à l'électrocinétique : courant, loi d'Ohm. Le cinquième chapitre aborde les conducteurs en équilibre électrostatique. On traite ensuite du champ magnétostatique : loi de Biot et Savart, conservation du flux magnétique, théorème d'Ampère. On s'intéresse dans le chapitre sept aux actions du champ magnétique : forces de Lorentz et de Laplace, effet Hall. Le chapitre huit porte sur l'induction électromagnétique : lois de Faraday et loi de Lenz notamment. Enfin, pour le chapitre neuf, on termine par l'électrodynamique en régime quasi-stationnaire : équations de Maxwell et ARQS.

Extraits

[...] La norme C du vecteur C est donn´ e par : e e C = AB sin θ I Syst` mes de coordonn´ es usuels e e Coordonn´ es cart´ siennes e e En coordonn´ es cart´ siennes, la position d'un point M dans l'espace est rep´ e par la donn´ e de e e ee e trois nombres qui correspondent aux valeurs des projections du vecteur position r =OM sur ex ey ez e e la base orthonorm´ e directe , , ) : x = , y = , z = et les vecteurs sont compos´ s ex ey ez e , , ) (voir figure I.4). Ainsi, sur la base orthonorm´ e (ex ey ez e ey ez r = ex Electromagn´ tisme I : les equations de Maxwell e 8 Chap. [...]

[...] On e finie la densit´ volumique de charge ρ au point M par : e e ρ(M) = 1 qi Dans le syst` me international, ρ s'exprime en C/m e Electromagn´ tisme I : les equations de Maxwell e Chap. I La charge electrique 5 z M _ _ _ _ + + + + _ _ + + + _ + _ _ _ _ _ + + _ + _ + _ + + _ _ _ _ _ + _ _ _ + _ + _ + _ + + _ + _ + _ + + + + _ _ + _ _ _ _ + + + _ + _ _ _ + _ _ _ _ _ + _ _ _ _ _ + _ + + + + + + _ _ _ + + _ + x Figure I.1 La densit´ volumique de charge en un point M est egale a la charge electrique totale contenue dans un volume e ` entourant M divis´ e par . [...]

[...] III Potentiel electrostatique deux a deux. Poussons alors le coupage a l'extrˆ me, c'est a dire en une infinit´ de boucles de ` e ` e ` e longueur et de surface infinit´ simales. La circulation de A le long de Γ est egale a la somme des e ` circulations du vecteur A le long de chaque boucle mentaire. Pour calculer la circulation du vecteur A le long d'une boucle ferm´ e mentaire, consid´ rons un e e (Γ1) (Γ2) Figure III.5 La circulation le long d'une courbe ferm´ e est egale a la somme des circulations le long de l'ensemble des e ` courbes ferm´ es obtenues en subdivisant autant de fois que l'on veut la courbe originale. [...]

[...] Lorsqu'il y a plusieurs type α de porteurs, l'on a pour chacun d'eux : vα = µα E avec µα = qα τα mα Le vecteur densit´ volumique de courant sultant s'´ crit : e e e j = jα = nα qα vα = nα qα µα E = γ E α α α Electromagn´ tisme I : les equations de Maxwell e Chap. IV Electrocin´ tique e 37 avec γ = nα qα µα = α α nα q2 τα α mα IV Loi d'Ohm int´ grale e Consid´ rons un ment conducteur limit´ par les section S et S2 (voir figure IV.3) entre lese e e 1 e quelles existe une diff´ rence de potentiel stationnaire U = V V En gime stationnaire, toute e 1 section S de ce conducteur est travers´ e par la mˆ me intensit´ I : e e e M2 E.dr M1 et J.ndS S Or, J et E etant reli´ s en tout point par la loi d'Ohm locale = γ le rapport R = U/I est inchang´ e e S1 M1 dr S n dS E J S2 M2 Figure IV.3 Int´ gration de la loi d'Ohm sur un ment conducteur en gime stationnaire. [...]

[...] IV Electrocin´ tique e La variation en fonction du temps de la charge contenue dans ce volume est : dQ d = dt dt V ρ dV = V dV Cette variation doit etre reli´ e a la quantit´ de charge traversant la surface qui limite ce volume par ˆ e ` e e v dS V Figure IV.1 La charge sortant du volume V a travers l'´ ment de surface dS pendant la dur´ e infinit´ simale dt se trouve ` ee e e contenu dans le cylindre en pointill´ s dont le volume vaut vdt.ndS. e unit´ de temps. Si dS = ndS signe un ment infinit´ simal de cette surface orient´ , comme il est e e e e e d'usage, suivant sa normale n ext´ rieure, alors ρ vdt.ndS repr´ sente la charge traversant dS pendant e le temps dt (voir figure IV.1). [...]