Chaos, mélange, ordre et structure

Résumé du document

S'il fallait résumer notre objectif scientifique principal, nous dirions qu'il était d'atteindre une bonne compréhension de l'apparition du chaos dans des systèmes dynamiques hamiltoniens, ainsi que de l'apparition de la science du chaos elle-même dans les mathématiques. Nous avons souhaité ne pas nous cantonner à des aspects purement théoriques de la science des systèmes dynamiques, et ouvrir notre étude à des problématiques concrètes. La section sur la théorie des nombres (théorèmes de van der Waerden et de Szemerédi) propose une application de la théorie ergodique à un autre domaine des mathématiques. L'étude du contrôle du chaos (méthode des barrières de transport) répond quant à elle au second objectif: il s'agit d'un sujet de recherche appliquée contemporain revêtant une grande importance économique, dans des installations comme les accélérateurs de particules ou les réacteurs à plasma. La méthode étudiée pourrait par exemple déboucher sur une application dans le cadre du projet ITER, où à l'heure actuelle le confinement du chaos nécessite un trop grand apport d'énergie. L'étude de la théorie KAM permet de faire le lien entre la théorie ergodique (puisqu'elle constitue une réfutation de l'hypothèse ergodique) et cette problématique de contrôle du chaos (puisqu'elle offre un cadre naturel à l'étude du chaos dans l'espace des phases d'un système).

Extraits

[...] Nous avons en outre besoin de la notion de fonction invariante par T car, R sous les seules hypothèses mentionnées ci-dessus, nous n'obtiendrons pas la convergence vers X f dµ, mais vers 5 une fonction f veriant la propriété de T -invariance Ce n'est qu'ensuite, sous une condition supplémentaire d'ergodicité portant sur T et µ, que nous obtiendrons, comme souhaité, la convergence vers l'intégrale sur X de f par rapport à la mesure µ. Étant donnés deux éléments A et B de la tribu on dit que A est inclus dans B presque partout si µ(A \ = et que A et B sont égaux pp si µ(A4B) = 0 (avec A4B = \ \ Dénition 2 −invariance). On dit que l'élément A de la tribu A est T −invariant (resp. T −invariant pp) si T = A (resp. pp). [...]

[...] Soit E Z de densité supérieure strictement positive. Il existe un sdm ergodique µ, T ) et A A tels que pour tous k > m mk µ(T A T + m1 ) + mk Soit Ω = 1}Z muni de la topologie produit, qui est un compact par le théorème de Tychonov, et T : (xn (xn+1 . Soit (en ) = 1E et A = x0 = qui est ouvert (en tant qu'image réciproque de par la projection sur la composante et fermé (de même, mais car est ouvert). [...]

[...] En eet, R R g R g R g g g GN = sup P g T p 06k6N p=0 = max(0, P sup ( g T p 16k6N p=0 = max(0, sup + 16k6N = max(0, + sup P p=0 P 06k6N p=0 = max(0, + GN g T p g T p De plus, pour x Ag , GN donc GN > 0 pour N grand. Cela prouve que Ag , GN GN g(x). N Pour N assez grand, on a donc GN = + GN x). [...]

[...] Chenciner : De la Mécanique céleste à la théorie des systèmes dynamiques, aller et retour : Poincaré et la géométrisation de l'espace des phases, Encycopedia Universalis V. Croquette : Déterminisme et chaos, Pour la science, décembre 1982 V. Croquette : Le chaos, Cours de DEA, ENS Ulm A. Fathi : Systèmes dynamiques, Cours de Majeure, Ecole Polytechnique S. Freud : Une diculté de la psychanalyse, ×uvres complètes, Psychanalyse vol.15, Paris, PUF E. Ghys : Résonances et petits diviseurs, http : //www.umpa.ens lyon.f ghys/articles/kolmogorov.pdf C. Gignoux, B. Silvestre-Brac : Mécanique : de la formulation langrangienne au chaos hamiltonien, Grenoble Sciences, EDP B. Green , T. [...]

[...] au ot linéaire α sur Tn . À présent, nous présentons un exemple de système dynamique perturbé et une visualisation graphique de la disparition des tores de KAM sur des sections de Poincaré Le pendule percuté Nous nous appuyons ici sur [14]. Nous évoquerons de nouveau ce système (suivant alors les travaux présentés dans dans la section suivante, consacrée au contrôle du chaos hamiltonien. Considérons un pendule pesant oscillant dans un plan horizontal, soumis à une perturbation par à-coups réguliers et très brefs de période T . [...]