Analyse numérique : compte-rendu de travaux dirigés "Diffusion de la chaleur dans un cylindre"

Résumé du document

Notre étude porte sur la diffusion de la chaleur dans un barreau cylindrique de section rectangulaire et de longueur infinie, dont on veut déterminer la répartition de la température au cours du temps.

Extraits

[...] On peut considérer que le barreau est isolé, très allongé, de composition homogène, et que sa répartition de température est uniforme d'où le choix unidimensionnel, ainsi l'équation à résoudre devient : On peut procéder à une discrétisation spatiale, par développement de Taylor a l'ordre 2 de et , ce qui donne après combinaison linéaire, et approximation : De même on procède a une discrétisation temporelle par développement de Taylor de , ce qui donne après approximation : En combinant ces trois équations, on obtient l'équation régissant un schéma d'Euler (simple mais limité) permettant de modéliser le problème : Diffusion dans le cas 2D instationnaire On se place en système instationnaire et bidimensionnel. Ce problème n'a pas été étudié en travaux dirigé. Cependant, en utilisant une méthode similaire au cas 1D instationnaire on obtient l'équation suivante : Conclusion Par le biais des méthodes numériques, on ne peut qu'approcher le comportement continu des phénomènes physiques. Malgré cet inconvénient, une approche numérique permet d'évaluer le comportement réel et de corroborer les résultats expérimentaux. [...]

[...] Analyse numérique Compte rendu de travaux dirigés Diffusion de la chaleur dans un cylindre Introduction Notre étude porte sur la diffusion de la chaleur dans un barreau cylindrique de section rectangulaire et de longueur infinie, dont on veut déterminer la répartition de la température au cours du temps. Plusieurs hypothèses nous permettent de simplifier le problème. Hypothèse 1 : On suppose que le barreau est isolé thermiquement sur ses quatre surfaces latérales, ce qui élimine rayonnement et conduction/convection dans l'air ambiant. [...]

[...] ; ; Le but est alors d'approcher la dérivée seconde par une formule ne faisant intervenir que les valeurs discrètes de la solution au point de maillage. Grâce à la méthode aux différences finies, basée sur les développements de Taylor, on obtient une formule de la dérivée seconde centrée à l'ordre à partir de : Après résolution matricielle, on obtient la répartition de la température au sein du barreau. Diffusion dans le cas 2D stationnaire On se place en système stationnaire et bidimensionnel, ainsi l'équation à résoudre devient : On utilise la même méthode de discrétisation spatiale que dans le cas du barreau 1D, avec un maillage suivant l'axe y en plus. [...]