Analyse dimensionnelle et équation aux dimensions

Résumé du document

La dimension d'une grandeur physique est sa nature physique. Ainsi, une grandeur physique peut avoir la dimension d'une longueur, d'une énergie, d'une force, d'une masse volumique, etc. La notion de dimension est plus générale que la notion d'unité. Par exemple, une grandeur qui a la dimension d'une masse - on dit « homogène à une masse » - peut s'exprimer en kilogrammes, en tonnes, en grammes, etc. (...)

Extraits

[...] Application numérique : Calculer v avec le nombre de chiffres significatifs en adéquation avec les données de l'énoncé pour T = 27°C. Comparer à la valeur v = 348 m/s obtenue expérimentalement dans les mêmes conditions de température et de pression. 4. En 1816, le physicien et mathématicien français Laplace (1749-1827) donne l'expression : Où est une grandeur adimensionnée et est une constante thermique caractéristique du fluide qui vaut pour l'air = 7 / 5. Application numérique : Calculer v avec le nombre de chiffres significatifs en adéquation avec les données de l'énoncé pour T = 27°C. [...]

[...] Ecrire l'équation aux dimensions d'une énergie. On part d'une relation connue pour l'énergie. Par exemple, l'énergie cinétique : [ ] * + [ ] [ ] ( ) e. Ecrire l'équation aux dimensions d'une force puis celle d'une pression. [ ] ; [ ] Pour une puissance : [ ] [ ] [ ] f. Ecrire l'équation aux dimensions d'une tension électrique. On part de la relation : [ ] [ ] [ ] Autre méthode : (loi d'Ohm) [ ] [ ] [ ] [ ] Or D'où [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] II. [...]

[...] la réponse attendue est M a la dimension d'une masse et non M s'exprime en kilogrammes Equation aux dimensions On peut montrer en physique que la dimension de toute grandeur physique G peut s'exprimer au plus en fonction de 7 grandeurs de base qui sont consignées dans le tableau ci-après : Grandeur Longueur Masse Temps Température Quantité de matière Intensité électrique Intensité lumineuse Symbole dimensionnel L M T N I J La dimension de la grandeur G est notée A titre d'exemple, si G est une longueur, on écrire que sa dimension est = L. Cette dernière relation est appelée équations aux dimensions de G car on s'intéresse alors qu'à la dimension de G et non plus à G en tant que grandeur physique Exemples d'application a. Ecrire l'équation aux dimensions d'une vitesse. [ ] b. Ecrire l'équation aux dimensions d'un angle. Un angle exprime un rapport de longueur. [ ] Toutes les fois où on aura = 1 on dira que G est une grandeur sans dimension ou adimensionnée. [...]

[...] Par exemple, si n est une quantité de matière, son équation aux dimensions est simplement = N. L'unité pour exprimer sa valeur peut être la mole, la millimole, la micromole, la picomole, etc. Le système international d'unités (S.I. en abrégé) définit sept unités fondamentales associées précisément aux sept grandeurs de base utilisées pour écrire l'équation aux dimensions d'une grandeur. Grandeur Longueur Masse Temps Température Quantité de matière Intensité électrique Intensité lumineuse Unité Mètre Kilogrammes Seconde Kelvin Mole Ampère La candela Symbole m kg s K mol A cd 2. [...]

[...] Relier l'unité SI d'une tension électrique aux unités de base du système international. Volt III. Exercices d'application : Célérité d'une onde mécanique progressive dans l'air. Vitesse du son dans l'air : Mach 1 Au XVIIème siècle, le brillantissime Isaac Newton (1642-1727) établit l'expression de la célérité v d'une onde sonore dans un gaz. On écrit v sous la forme suivante : v = Où P est la pression du gaz et sa masse volumique. Questions : 1. Par analyse dimensionnelle, déterminer les nombres a et b. [...]