Variations de fonctions

Thèmes abordés

Fonction mathématique, variation d'une fonction, intervalle d'une fonction, tableau de variations, identité remarquable, signe d'une fonction

Résumé du document

Le document est composé de 2 exercices corrigés sur l'étude et la détermination des variations d'une fonction.

Extraits

[...] Variations de fonctions Exercice 1 1.a/ La tige est à l'horizontal lorsque x a pour valeur (cela correspond à un angle droit). La hauteur correspondante est de 11 mètres. Cela correspond à la longueur de la tige à laquelle on ajoute la distance entre la nacelle et le sol lorsque le manège est à l'arrêt. 2.a/ Pour tout réel x Euro ] -PI ; PI [ , la hauteur entre la masse M et la verticale passant par le point O est égal au cosinus de x multiplié par la longueur de la tige, soit 10 cos x. [...]

[...] Pour cela, on pourra s'aider d'un graphique de la fonction cosinus. Ensuite, grâce au tableau de variations de la fonction on pourra définir les valeurs que x pourra prendre. = 9 11 - 10 cos x = 9 2 - 10 cos x = 0 cos x = A l'aide d'un graphique, on trouve que x 1.37 ou x -1.37 A l'aide du tableau de variations de on trouve que x doit appartenir à l'intervalle [-1.37 ; 1.37]. Exercice 2 1.a/ Tableau de variation de la fonction : Tableau de signes de la fonction : x 1 2 signe de + 0 - 0 + est positive, car sur l'intervalle ] ; -1.5 est strictement croissante. [...]

[...] On en déduit la hauteur entre M et qui vaut 10 - (10 cos soit 10 - cos x). Le point A étant à un mètre du sol, est égal à 1 + 10 - cos x). = 1 + 10 - cos = 1 + 10 = 1 = 1 + 10 - cos PI/2) = 1 + 10 - = 11 = 1 + 10 - cos = 1 + 10 - = 11 h(PI) = 1 + 10 - cos PI) = 1 + 10 - = 21 3.a/ = 1 + 10 - cos = 11 - 10 cos x On sait que cos' = - sin x Donc = 10 sin x Sur l'intervalle] - PI ; 0 [ est strictement positive Sur l'intervalle] 0 ; PI [ est strictement négative Pour x = PI ou x = = 0 On en déduit le tableau de variation de la fonction h : Le sens de variation est bien en adéquation avec le mouvement pendulaire. [...]

[...] L'image de 2 par la fonction f4 est 2.a/ On utilise l'identité remarquable = 3 + 2 5 Pour trouver les variations de la fonction on étudie le signe de la fonction dérivée de g. Pour cela, nous allons résoudre l'équation = 0 = 3 + 2 5 On reconnait une équation du second degré On calcule le déterminant = 4 = 4 - 4 * 3 * ( = 64 > donc nous avons deux solutions : = - b - /2a = 2 - 8 ) / 6 = = - b + /2a = ( + 8 ) / 6 = 1 Ensuite, on calcule et pour savoir si ces valeurs sont positives ou négatives et ainsi dresser le tableau de variations. [...]