Variable aléatoire à densité - Énoncé et correction détaillée

Thèmes abordés

Sciences économiques, Variable aléatoire à densité, densité de probabilité, représentation graphique, illustration graphique, fonction de répartition, fonction polynôme, asymptote horizontale, tableau de variation, coefficient directeur

Résumé du document

- Montrer que f est une densité de probabilité.
- Soit X une variable aléatoire de densité f. Expliciter sa fonction de répartition Fx.
- Tracer les représentations graphiques de f et Fx.
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Extraits

[...] La fonction de répartition Fx Soit X une variable aléatoire de densité f. Explicitons sa fonction de répartitionFx. Si Fx=0 Si-1≤x [...]

[...] Soit X une variable aléatoire de densité f. Expliciter sa fonction de répartitionFx. Tracer les représentations graphiques de f et Fx . Calculer EX, Var PX>12 et , PX≤12 Corrigé : Montrons que f est une densité de probabilité f est une densité de probabilité si elle vérifie les trois conditions suivantes Condition 1 : fx>=0 sur R ∀ fx>=0 ∀ x , fx>=0 ∀ fx>=0 ∀ x > fx>=0 Donc ∀ x fx>=0 Condition 2 : fx continue sur R f-1=0 f0=1-0⇒f0=0 lim⁡f(x)x-->0-=limx-->0-1+x=1 lim⁡f(x)x-->0+=limx-->0-1-x=1 f1=0 lim⁡f(x)x-->1-= limx-->1-1-x=0 lim⁡f(x)x-->1+=0 Donc f est continue sur R Condition 3 : -infinity+infinityfxdx=1 Vérification -infinity+infinityfxdx=-infinity-1fxdx+-10fxdx+01fxdx+1+infinityfxdx Or : -infinity-1fxdx=0 1+infinityfxdx=0 Illustration graphique Remplaçons fx=ft ⇒-infinity+infinityftdt=-10ftdt+01ftdt ⇒-infinity+infinityftdt=-101+xdt+01(1-x)dt ⇒-infinity+infinityftdt= 12x2-1 12x ⇒-infinity+infinityftdt=f0-f-1+(f1-f0) ⇒-infinity+infinityftdt=0--1+12+1-12-0 ⇒-infinity+infinityftdt=0--12+12-0 ⇒-infinity+infinityftdt=12+12 ⇒-infinity+infinityftdt=1 f est bien une densité de probabilité. [...]

[...] Ici le coefficient directeur de f est nulle donc f est une fonction constante. Si la courbe de f est représentée par la droite affine (droite oblique) d'équation 1+x Ici le coefficient directeur de f est positif donc f est une fonction croissante. Si 0≤x [...]