Variable aléatoire à densité - Énoncé et correction détaillée - publié le 10/02/2023

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Variable aléatoire, densité, constante, fonction de répartition, espérance, variance, variation, courbe représentative, fonction de densité

Résumé du document

Soit X une variable aléatoire de densité : f(x) : (...)
- Déterminer la constante c.
- Donner la fonction de répartition de X puis calculer l'espérance et la variance de X.
- En prenant a = 1, étudier les variations de f et de la fonction de répartition F puis tracer leur courbe représentative dans le même repère.

Extraits

[...] F(x)'=-34x2+34 ⇒F(x)'=0⇒-34x2+34=0⇒-x2+1=0⇒x2-1=0⇒x2=1⇒x=1 ou On déduit : ∀ x ∈ donc est stritement croissante . Tableau de variation de F si Fx=0 donc F est une fonction contante donc elle sera représentée dans le repère par la droite d'équation 0. si Fx=1 donc F est une fonction contante donc elle sera représentée dans le repère par la droite d'équation 1. [...]

[...] ⇒f(x)'=0⇒-32x=0⇒x=0 Sens de variation de f ∀ x ∈ donc est stritement croissante . ∀ x ∈ 0;1 donc est stritement décroissante . Tableau de variation de f Si x∉-1; = 0 donc f est une fonction contante donc elle sera représentée dans le repère par la droite d'équation 0. Étude des variations de F. Si x∈-1; Fx= -14x3+34x+12 F est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R , en particulier sur -1;1. [...]

[...] Variable aléatoire à densité - Énoncé et correction détaillée Énoncé Soit X une variable aléatoire de densité : = ca2-x2 si x≤a0 Sinon Déterminer la constante c. Donner la fonction de répartition de X puis calculer l'espérance et la variance de X. En prenant a = étudier les variations de f et de la fonction de répartition F puis tracer leur courbe représentative dans le même repère. Correction Déterminons la constante c = ca2-x2 si x≤a0 Sinon ⇔ = ca2-x2 si-a≤x≤a0 Sinon f est une fonction de densité si elle vérifie les trois conditions suivantes : Condition n°1 : On a : Si ; ∀ x∈-a , Si c [...]