Variable aléatoire - 3 exercices corrigés

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Variable aléatoire, probabilité, espérance mathématique, loi de probabilité, événements indépendants, suite géométrique, tirages équiprobables, variance, jeu de hasard

Résumé du document

Une urne contient 5 boules dont 3 vertes, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3, et 2 rouges portant respectivement les numéros 1 et 2. On tire au hasard et simultanément 2 boules de cette urne.
1° Quelle est la probabilité de l'événement A : « les 2 boules tirées sont de la même couleur » ?
2° Soit X la variable aléatoire égale à la somme des numéros portés par chacune des 2 boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X.
3° On appelle B l'événement « X=3 ». Quelle est la probabilité de B sachant que l'on a tiré 2 boules de la même couleur ?

Extraits

[...] On tire au hasard et simultanément 2 boules de cette urne. 1° Quelle est la probabilité de l'événement A : « les 2 boules tirées sont de la même couleur » ? 2° Soit X la variable aléatoire égale à la somme des numéros portés par chacune des 2 boules tirées. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de X. 3° On appelle B l'événement « X=3).Quelle est la probabilité de B sachant que l'on a tiré 2 boules de la même couleur ? [...]

[...] Exercice 2 Énoncé On place dans une urne 1 boule bleue, x boules blanches et y boules rouges. On considère l'expérience qui consiste à tirer une boule au hasard dans l'urne. Dans l'espace probabilisé p ainsi défini, on désigne par A l'événement : la boule obtenue est bleue, par B l'événement : la boule obtenue est blanche et par C l'événement : la boule obtenue est rouge. 1° Calculer x et y sachant que pA=17 et que pA,pB et pC sont les termes consécutifs d'une suite géométrique. [...]

[...] Exercice 3 Énoncé Dans un élevage de drosophiles, on considère les caractères suivants mâles femelle gris ébène On suppose avoir 5 mâles dont 4 gris et 10 femelles dont 8 grises. On choisit au hasard 3 drosophiles par un tirage simultané (on admet tous ces tirages équiprobables). 1° Quel est le nombre de tirages possibles ? 2° On considère la variable aléatoire X , nombre de mâles : Donner les valeurs xi que prend X et les probabilités des événements X=xi; Calculer l'espérance et la variance V(X). Corrigé Schéma 1° Calculons le nombre de tirages possibles : CardΩ=C153=455. [...]

[...] Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X mesurant le gain de P. Corrigé 1° Calculons x et y sachant que pA=17 et que pA,pB et pC sont les termes consécutifs d'une suite géométrique. pA=card(A)card(Ω)=17 Ici on déduit donc que le nombre de tirages possibles est égal au cardinal de l'univers Ω. pB=card(B)card(Ω)=xx+y+1=x7 pC=card(C)card(Ω)=yx+y+1=y7 Donc notre première équation est : x+y+1=7 De plus : pA,pB et pC sont en progression géométrique si, et seulement si : pB2=pAxpC ⇔x72=17xy7 ⇔x492=y49 ⇔x2=y Donc notre deuxième équation est : x2=y En substituant l'expression y=x2 dans la première équation on a : x2+x+1=7 ⇔x2+x-6=0 ∆ =b2-4ac=12-41x-6=25⇒∆=25 donc ∆ =25=5 x1=-b-∆2a=-1-52x1=-62=-3 ici la valeur de x est négative donc elle est exclue. [...]