Variable aléatoire, loi de probabilité - 3 exercices corrigés - publié le 10/02/2023

Thèmes abordés

Variable aléatoire, sac, enveloppe, jeton, billet, tirage au hasard, loi de probabilité, évènement, gain, espérance mathématique, variance, numéro, produit

Résumé du document

Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard 3 jetons du sac.
Soit X le plus grand des numéros figurant sur les 3 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Calculer E(X).

Extraits

[...] Ce résultat est : PX=4=C11xC32C103=3120 En poursuivant le même raisonnement, on aboutit à : PX=5=C11xC42C103=6120 PX=6=C11xC52C103=10120 PX=7=C11xC62C103=15120 PX=8=C11xC72C103=21120 PX=9=C11xC82C103=28120 PX=10=C11xC82C103=36120 xi PX=xi EX=i=1n=8xixP(X=xi) EX=3x1120+4x3120+5x6120+6x10120+7x15120+8x21120+9x28120+10x36120 EX=3+12+30+60+105+168+252+360120 EX=990120 EX=334 Exercice n°3 : la loi de probabilité de x Un sac contient 6 jetons : 2 numérotés numérotés numéroté 3 et 1 numéroté 4. On tire simultanément 2 jetons de ce sac (tirages équiprobables). Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le produit des deux nombres marqués sur les jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer EX et V(X). [...]

[...] Ainsi en tirant 2 enveloppes, les éventualités possibles sont : Ne rien gagner : soit A « tirer 2 enveloppes vides » ; Gagner exactement 10F : soit B « tirer une enveloppe de 10F et une enveloppe vide » ; Gagner exactement 20F : soit C « tirer 2 enveloppes de 10F» ; Gagner exactement 50F : soit D « tirer une enveloppe de 50F et une enveloppe vide » ; Gagner exactement 60F : soit E « tirer une enveloppe de 50F et une enveloppe de 10F ». Les probabilités correspondantes sont : p(A)=PX=0=C22C52=110 pB=PX=10=C21xC21C52=410 pC=PX=20=C22C52=110 pD=PX=50=C11xC21C52=210 pE=PX=60=C11xC21C52=210 xi PX=xi EX=i=1n=5xixP(X=xi) EX=0x110+10x410+20x110+50x210+60x210 EX=0+40+20+100+12010 EX=28 Exercice n°2 : loi de probabilité de la variable aléatoire Un sac contient 10 jetons numérotés de 1 à 10. On tire au hasard 3 jetons du sac. Soit X le plus grand des numéros figurant sur les 3 jetons tirés. [...]

[...] Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Calculer EX. Corrigé : Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire X puis Calculons EX. Remarquons que le jeton numéroté 1 et le jeton numéroté 2 sont les jetons qui portent les plus petits numéros parmi les 10 jetons du sac. Ce qui fait que quand on tire au hasard 3 jetons et que X la variable aléatoire désignant le plus grand des numéros figurant sur les jetons tirés donc la variable X ne peut pas prendre les valeurs 1 et 2. [...]

[...] Ce nombre est : C52=10. La probabilité de ne rien gagner au cours du tirage effectué est la combinaison de 2 enveloppes vides parmi 2. Ce nombre est : C22=1. La probabilité de gagner exactement 10F au cours du tirage effectué est la combinaison d'une enveloppe de 10F parmi 2 et d'une enveloppe vide parmi 2. Ce nombre est : C21xC21=4. La probabilité de gagner exactement 20F au cours du tirage effectué est la combinaison de 2 enveloppes de 10F parmi 2. [...]

[...] Variable aléatoire - 3 exercices corrigés Exercice n°1 : tirages et variables aléatoires Dans un sac se trouvent 5 enveloppes : 2 d'entre elles renferment un billet de 10F. Une autre, un billet de 50F et les 2 dernières sont vides. On tire simultanément 2 enveloppes, 1° Quel est le nombre de tirages possibles ? En supposant que tous ces tirages soient équiprobables, calculer la probabilité de chacun des événements suivants : Ne rien gagner au cours du tirage effectué ; Gagner exactement 10F au cours du tirage effectué ; Gagner exactement 20F au cours du tirage effectué (le gain est la somme totale obtenue dans les deux enveloppes tirées). [...]