Les fractales en géométrie mathématique

Résumé du document

TPE portant sur les fractales. Les fractales sont considérées comme des figures irrégulières, ramifiées, et arborescentes dont la structure fait souvent intervenir la reproduction de motifs par fractionnement. Comment un outil mathématiques tel que les fractales se retrouve t-il au quotidien ? Les fractales sont-elles un délire mathématique ou au contraire un outil propice à la modélisation du réel ? Ce TPE est illustré et présenté sous la forme d'un PowerPoint clair et précis.

Extraits

[...] On se rend ici compte des tailles réelles des branches comparées à l'original. Chou fleur : On peut voir ici que le principe d' autosimilarité s'applique aussi au chou fleur, cependant les limites de ce principe ne sont pas atteintes à la quatrième itération. Le corps humain regorge d'une multitude de structures fractales. C'est le cas des voies respiratoires et de sa prodigieuse ramification, de certaines parties du coeur, de nos vaisseaux et son vaste réseau sanguin . Toutes ces structures ont été élaborées lors du développement de l'embryon qui a fait intervenir un caractère chaotique et déterministe à sa propre évolution. [...]

[...] La géométrie fractale dispose théoriquement d'une surface infinie, sa structure consistant à répéter une infinité de fois le même motif géométrique auquel on associe un certain nombre d'itérations (ici, ce nombre est infini). Conclusion Il apparaît que les fractales doivent leur récent essor à un grand mathématicien : Benoît Mandelbrot. Nous avons montré que les fractales mathématiques sont en fait des fonctions complexes infinies. Elles soulèvent, comme nous l'avons vu avec la courbe de Von Koch, certains paradoxes, comme un périmètre infini contenu dans un espace dont l'aire est finie, ce qui est une notion très abstraite. [...]

[...] La nature cache les plus belles représentations géométriques variées. Pour les apercevoir, il suffit simplement de regarder autour de nous . Un certain nombre de ces formes fractales se retrouvent en effet dans le règne végétal. C'est le cas du chou-fleur, du chou romanesco, des fougères, des racines, de la forme des feuilles, ou encore de leurs nervures . Voici une branche du chou. La ressemblance avec le chou entier est frappante. Seule la taille de cette branche peut nous permettre d'affirmer qu'il ne s' agit pas d'un chou entier. [...]

[...] Comment un outil mathématiques tels que les fractales se retrouve t'il au quotidien? Les fractales ,notions élémentaires Une géométrie spécifique Alors que la géométrie traditionnelle ne dispose, pour décrire le monde, que des outils comme les courbes, surfaces et volumes, la géométrie fractale quant à elle, génère des formes infiniment fracturées. L'analyse des structures classiques dessine un monde lisse, aux contours précis, chaque détail dévoile un monde agité, chaotique et flou. L'efficacité de ces mathématiques est qu'elle représente notre monde essentiellement rugueux. [...]

[...] Par les fractales , on constate que les mathématiques sont présentes dans la nature. Sans ces structures fractales, notre corps serait démesuré (rien que les poumons d'un adulte occuperaient le volume d'une sphère de 2,8m de rayon Nous savons donc maintenant pourquoi la côte de Bretagne a différentes longueurs C'est tout simplement une question d'échelle de mesure. De plus, le domaine d'application des fractales n'est pas seulement restreint aux mathématiques et aux science et vie de la terre, mais aussi à la physique. [...]