Théorie de l'estimation

Résumé du document

Examen de théorie de l'estimation avec correction dans le cadre de examen 2020 en estimation pour le master perception artificielle et robotique(PAR).

Extraits

[...] L'équation de mesure sera donc :   x ε xgps   y + x = CX k k Zk = = εy ygps θ Les bruits εx et εy sont censés être décorrélés, alors la matrice covariance du bruit de mesure sera : 2 σx 0 Rk = 0 σ2y 4. Donner les équations complètes du filtre. On précisera l'expression de l'ensemble des matrices utilisées. [...]

[...] En déduire la borne de Cramer Rao et interpréter l'influence de chacun des paramètres (en particulier celle de T et du rapport signal sur bruit). La borne de Cramer-Rao (CRLB) est l'inverse de l'information de Fisher : Var[m] ˆ CRLB = 2T σ2w √ A2 On sait que pour améliorer l'estimation, il faut que la borne diminue, il faudra donc : — diminuer la valeur de T , — augmenter le rapport signal sur bruit défini comme A2 /σ2w Déterminer l'expression de la fonction de vraisemblance et la mettre sous la forme suivante en donnant l'expression de : N− ∝ exp − 2 ∑ − 2σw n=0 On a : v⊤ v ∝ exp − 2 2σw 1 N−1 = exp − 2 ∑ w[n]2 2σw n=0 Or : = + avec − m)2 = exp − 2T 2 Soit : = − Donc : 1 N−1 ∝ exp − 2 ∑ − 2σw n=0 Ainsi : 1 N−1 ∝ exp − 2 ∑ − 2σw n=0 5. [...]

[...] En considérant le vecteur d'état X = θ)⊤ , donner l'expression du vecteur d'entrée U et du vecteur de bruit d'évolution wk . On aura : ˆ ds ˆ 2 U = (ds et wk = b2 2. Déterminer l'expression de l'équation d'évolution X k+1 = f(X k k , wk ) reliant le vecteur d'état X pour l'instant k + 1 avec celui à l'instant les données d'entrée du vecteur U k et les bruits d'évolution du vecteur wk . [...]

[...] Expliquer comment, à partir de la fonction de vraisemblance on pourra extraire une estimation mˆ de m. On ne demande pas de mener jusqu'au bout le calcul. Une fois que l'on a la fonction de vraisemblance il suffit juste de trouver la valeur mˆ de m qui la maximise : mˆ = m tel que → max La valeur de m¯ sera donc celle qui maximise ou qui maximise log(p(y; Pour cela on va cherche à maximiser ce terme : log(p(y; = K − 1 N−1 ∑ − 2σ2w n=0 On calculera sa dérivée est on cherchera la valeur de m qui l'annulera. [...]

[...] Cette équation est issue de l'équation qui est de la forme : X k+1 = f(X k k , wk ) On aura ainsi :   xk+1 = xk + 12 (ds1 + ds2 ) cos(θk ) y = yk + 21 (ds1 + ds2 ) sin(θk )  k+1 θk+1 = θk + L1 (ds2 − ds1 ) On sait aussi que : ˆ 1 = ds1 + b1 ds Donc : et ˆ 2 = ds2 + b2 ds  1 ˆ ˆ  xk+1 = xk + 2 (ds 1 + ds2 − b1 − b2 ) cos(θk ) 1 ˆ ˆ 2 − b1 − b2 ) sin(θk ) y = yk + 2 (ds1 + ds  ˆ ˆ 1 + b1 − b2 ) θk+1 = θk + L (ds2 − ds 3. Préciser l'expression du vecteur de mesure Z k et déterminer l'équation de mesure du système. On donnera aussi l'expression de la matrice de covariance de l'erreur de mesure. Le vecteur de mesure sera : Z k = (xgps , ygps On aura : xgps = x + εx et ygps = y + εy Ici εx et εy seront les bruits sur les mesures xgps et ygps . [...]