Théorie de l'estimation - publié le 17/05/2022

Résumé du document

Examen de théorie de l'estimation de master PAR de 2021 avec correction.

Extraits

[...] Exercice 2 On considère un système mécanique de levage (voir figure). On suppose que l'on agit sur la hauteur u du bras pour lever la masse M (située à une hauteur au travers d'un câble élastique modélisé par un ressort de raideur R. On considérera que l'équation liant la sortie y à l'entrée u du système est donnée par : u Ressort de raideur R charge de masse M y d 2 − Ry(t) = 0 dt On considère le vecteur d'état X = y)T . [...]

[...] Ce signal est émis puis reçu déphasé et bruité sous la forme du vecteur y = · · · , dont l'élément sera donné par : = A sin(2πn f0 Te + + n ∈ avec A (affaiblissement du signal dû à la transmission) est supposé connu et est un terme issu d'une séquence w = · · · , de bruit blanc gaussien stationnaire de moyenne nulle et de variance σ On souhaite réaliser une estimation φˆ du déphasage à partir du signal reçu de manière à déduire la distance entre l'émetteur et le récepteur Déterminer l'espérance mathématique de w et la matrice de covariance Cw de w. Comme il s'agit d'un bruit de moyenne nulle, son espérance sera le vecteur nul de dimension N. Ainsi : = 0 Il s'agit d'un bruit blanc, donc la matrice de covariance sera diagonale. Il est stationnaire, alors la variance de chaque terme est identique est vaut σ On aura donc : Cw = σ2 IN×N 2. [...]

[...] On précisera la valeur de la constante ξ. On a ici un problème avec bruit additif gaussien de la forme : = + avec = sin(2πn f0 Te + et On sait que dans ce cas, la borne de Cramer-Rao est donnée par : Bφ = 1 I f Avec I f l'information de Fisher donnée par : 1 N ∂s[n, 2 I f = 2 ∑ σ n=1 ∂φ Il faut donc calculer I f On aura : ∂s[n, ∂ sin(2π f0 nTe + = = A cos(2π f0 nTe + ∂φ ∂φ N ∑ n=1 ∂s[n, ∂φ 2 N = ∑ cos(2π f0 nTe + n=1 N = A2 ∑ cos(2π f0 nTe + φ)2 = = = A N 2 ∑ + cos(4π f0 nTe + 2 ∑ A N A n=1 A2 N ∑ cos(4π f0 nTe + 2 n=1 A2 N ∑ cos(4π f0 nTe + 2 n=1 X Le terme cos(4π f0 nTe + a pour période Tn = f0 Te En effet, une période de Tn points en partant de n = n devra engendrer un angle de 2π. [...]

[...] Ce sera donc une fonction de dimension On souhaite connaître la borne de Cramer-Rao de l'estimation φˆ de φ. Expliquer ce que représente cette borne dans le cas présent. Il s'agira de la variance minimale du meilleur estimateur de ce déphasage. Connaissant son expression théorique, on pourra ainsi, voir sur quel paramètre jouer pour optimiser l'estimation de φ Montrer que l'expression de la borne de Cramer-Rao Bφ pour cette estimation φˆ sera de 1 la forme : Bφ = ξ.N lorsque N = 2 fk0 Te avec k entier et k 1 (c'est-à-dire dans le cas où N représente un nombre entier de périodes du terme en sinus). [...]

[...] — d'une mesure uˆ de la hauteur du bras. Cette mesure est aussi supposée entachée d'un bruit additif centré blanc gaussien εuk d'écart-type σu connu. On suppose que ce sont les deux seules erreurs ou bruits intervenant dans le système. L'expression du modèle d'état stochastique discret correspondant sera le suivant : X k+1 = AX k + Buˆk + vk mk = C′ X k + wk Préciser l'expression du vecteur de bruit vk , sa matrice de covariance Qk , la matrice C′ , l'expression du bruit wk et sa matrice de covariance Rk . [...]