Le Théorème de Cesàro

Thèmes abordés

Théorème de Cesàro, suite logique réelle, suite convergente de limite, entier, nombre réel positif, suite divergente de limite

Résumé du document

Il s'agit de la correction d'exercices de mathématiques portant sur le Théorème de Cesàro, sur les Suites (convergentes, divergentes).

Extraits

[...] Le Théorème de Cesàro 1. a. ∀n∈N,1n+1k=0nuk-l=1n+1k=0nuk-k=0nl=1n+1k=0nuk-1n+1n+1l=vn-l. b. Soit ε>0. un est convergente vers l donc ∃N∈N, ∀k∈N, k>N⇒uk-l≤ε, Pour tout k=N+1nuk-l≤k=N+1nε⇒k=N+1nuk-l≤n-N+1+1ε On a donc ∀n>N, k=N+1nuk-l≤n-Nε. c. un est convergente donc un est bornée. ∃m',M'∈R2, ∀k∈N, m'≤uk≤M'. On a donc m'-l≤uk-l≤M'-l. On pose M=maxm'-l,M'-l>0. Alors ∀k∈N, uk-l≤M. k=0Nuk-l≤k=0NM⇒k=0Nuk-l≤N+1M d. ∀n∈N, vn-l=1n+1k=0nuk-l⇒vn-l≤1n+1k=0nuk-l≤1n+1k=0Nuk-l+k=N+1nuk-l≤1n+1N+1M+n-Nε≤N+1Mn+1+n-Nn+1ε limn-->infinityN+1Mn+1=0 donc ∃n0∈N, ∀n>n0, N+1Mn+1n0, vn-linfinityvn=l Si un est divergente et de limite +infinity alors ∃A>0,∃n1∈N, ∀n>n1, un>A. [...]