Systèmes linéaires et suites libres/génératrices

Thèmes abordés

Système linéaire, algèbre linéaire, matrice, vecteur, polynôme, suite libre, suite génératrice, famille génératrice

Résumé du document

Ce document comporte 11 exercices corrigés d'algèbre linéaire de niveau L2.

Extraits

[...] Systèmes linéaires, suites libre/génératrices Commande 5453 Avant-propos : le détail des calculs pour chaque exercice sera donné sous forme de document manuscrit, placé en annexe. Exercice 1.1 : Après calcul, le système peut être sous la forme de matrice échelonnée réduite : 1 ( Rang = 2 −1 − − Inconnues principales : y Paramètres : t Exercice 1.2 : Après calcul, le système peut être sous la forme de matrice échelonnée réduite : 𝑎1 +𝑎 −6 ( −2 1 𝑎2 ) 𝑎3 −𝑎1 −𝑎2 Le système est compatible si et seulement si 𝑎3 −𝑎1 −𝑎2 = 0 On note 𝑣 solution du système (S0). [...]

[...] En évaluant 𝑇 en et (voir calcul), on montre que 𝑇(𝑥) = 0 uniquement si 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0. La suite (𝑃, 𝑄, 𝑅) est donc libre. Exercice 1.5 : Soit 𝑔(𝑥) = 𝑎. sin(𝑥) + 𝑏. 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0 ⇔ 𝑏. 𝑓(𝑥) = −𝑎. [...]

[...] Donner une repr´esentation param´etrique des solutions du syst`eme (S0 ) lorsque a a3 ) = ( puis lorsque a a3 ) = ( 0). Exercice 1.3 – La suite ( ( ( ( engendre-t-elle R4 ? La suite de vecteurs de R3 ( ( ( ( est-elle libre ? Exercice 1.4 – Dans l'espace vectoriel P2 des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal on consid`ere P = x2 + = x + 1 et = x − 1. La suite engendre-t-elle P2 ? Est-elle libre ? [...]

[...] Universit´ e Paris Sud L1 – eme semestre 2017-18 Math 103 Alg` ebre lin´ eaire Contrˆ ole des connaissances 1 Syst`emes lin´eaires, suites g´en´eratrices, suites libres, bases A effectuer entre la semaine du 19 f´evrier 2018 Durant la semaine du 19 f´evrier 2018, au d´ebut d'un TD, l'enseignant vous soumettra quatre exercices, choisis dans la liste ci-dessous. Vous aurez une heure pour y r´epondre. Le bar`eme est de cinq points par exercice. Exercice 1.1 – Mettre le syst`eme suivant sous la forme ´echelonn´ee r´eduite. Dire quel est son rang, quelles sont les inconnues principales et les param`etres. [...]

[...] Exercice 1.9 – Soit v v3 ) une base de R3 et posons u1 = v u2 = v1 + v u3 = v1 + v2 + v D´emontrer que u u3 ) est aussi une base de R Quelles sont les coordonn´ees du vecteur v = 2v1 − v2 + 3v3 dans la base u u3 ) ? Exercice 1.10 – Soit u1 = − −1) et u2 = ( −1, 1). Les deux vecteurs sont-ils colin´eaires ? Compl´eter la suite u2 ) en une base de R Exercice 1.11 – La suite P1 = − − P2 = − − P3 = − − forme-t-elle une base de l'espace vectoriel P2 des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal 2. Donner les coordonn´ees de ∈ P2 dans cette base en fonction de Q(3). [...]