Système hyperbolique - Le trafic routier

Thèmes abordés

Système hyperbolique, problème mathématiques, trafic routier, équation, schéma numérique

Résumé du document

Cet exercice demande de résoudre une équation du trafic routier (maillage, consistance, stabilité, etc.) puis de proposer un schéma numérique permettant de simuler le système en choisissant différentes vitesses sous la forme de fonction décroissante.

Extraits

[...] Le schéma choisi est donc convergent. Modélisation des entrées/sorties : On modélise les entrées/sorties du périphérique à une voie par une fonction f. On pourra par exemple considérer N entrées et N sorties équidistantes telles que : Les entrées sont situées aux points de coordonnées xEp=pLN,p∈0,N-1 Les sorties sont situées aux points de coordonnées xSq=d+qLN,q∈0,N-1 Où d est la distance séparant une entrée de la sortie suivante. On peut alors imaginer une fonction f tel que : ftn,xj=ΔρEpk si xj=xEpΔρSqk si xj=xSq0 sinon, où ΔρEp représente une augmentation locale de la densité du trafic à l'entrée p et ΔρSq une diminution à la sortie q. [...]

[...] Le schéma choisi est donc convergent. Schéma de Lax-Friedrichs On étudiera dans un second temps le schéma de Lax-Friedrichs. Dans ce cas, l'équation du trafic peut s'écrire sous forme numérique approchée comme : vjn+1-12vj+1n+vj-1nk+ajnvj+1n-vj-1n2h=fjn On se ramène alors à l'équation : vjn+1=12vj+1n+vj-1n-k2hajnvj+1n-vj-1n+kfjn. Consistance du schéma : On écrit le schéma sous la forme compacte Pk,hvjn=0 avec Pk,hvjn=vjn+1-12vj+1n+vj-1nk+ajnvj+1n-vj-1n2h-fjn Soit ? une fonction régulière, nous avons : ?tn+1,xj=?tn,xj+kdt?tn,xj+k22dtt?tn+ζk,xj, ?tn,xj-1=?tn,xj-hdx?tn,xj+h22dxx?tn,xj-ξ-h, ?tn,xj+1=?tn,xj+hdx?tn,xj+h22dxx?tn,xj+ξ+h, Ainsi Pk,h?jn=P?jn+k2dtt?tn+ζk,xj-h4kh-ajnk dxx?tn,xj-ξ-h+h+ajnk dxx?tn,xj+ξ+h Si P?=0 on a vu qu'on pouvait écrire : dtt?=dtf-adxf+a'?adx?-dt?dx? +a2dxx? Cas 1 : a?=Vm⇒a'?=0 D'où Pk,h?jn=k2dtftn,xj-Vmdxf(tn,xj)+k2Vm2dxx?tn+ζk,xj-h4kh-Vmk dxx?tn,xj-ξ-h+h+Vmk dxx?tn,xj+ξ+h=k2dtftn,xj-Vmdxftn,xj+k2Vm2-h4kh-Vmk+h+Vmkdxx?tn,xj+Ok2,h2 =k2dtftn,xj-Vmdxftn,xj+k2Vm2-h22kdxx?tn,xj+Ok2,h2 Cette troncature tends bien zéro lorsque k et h tendent vers zéro indépendamment. [...]

[...] Cas 3 : vitesse avec décroissance au carré : vρ=Vm1-ρ2 Dans ce cas, l'équation du trafic routier s'écrit : dtρ+Vm1-3ρ2dxρ=ft,x. Dans les 3 cas on notera l'équation sous forme dtρ+aρdxρ=ft,x. Définition du maillage : Nous choisissons un pas de temps k>0 et un pas d'espace h>0. On définit les points discrets du temps et de l'espace formant un maillage de la façon suivante : xj=jh avec où h=LNh car l'espace est restreint à l'intervalle tn=nk avec où Mk est le nombre de pas de temps du maillage On cherche à calculer une solution approchée vjn≈ρtn,xj en ces points du maillage. [...]

[...] Si 1-khVm>=0 la valeur à l'instant tn+1 est combinaison linéaire convexe des valeurs à l'instant tn donc cela implique directement le principe du maximum discret. Donc le schéma est stable pour la norme infinie si on vérifie la condition 1-khVm>=0 i.e. khVm<=1. Pour les cas 2 et 3 on a vjn+1=121+khajnvj-1n+121-khajnvj+1n. La condition de stabilité devient alors 1-khajn>=0 i.e ajn<=hk. Au maximum ajn=Vm donc on retrouve la même condition khVm<=1. Convergence du schéma : D'après le Théorème de LAX, pour un schéma linéaire, consistance et stabilité implique convergence. [...]

[...] De par sa nature, on considère un périphérique fermé de périmètre L. On peut alors restreindre l'espace d'étude à l'intervalle et considérer la solution périodique : ρt,x+L=ρ(t,x). On choisira pour le problème une condition initiale ρ0,x=ρ0x qui donne l'état du système au début de la simulation. Dans le problème on considérera plusieurs cas de vitesses : Cas 1 : vitesse constante : v=Vm Dans ce cas, l'équation du trafic routier s'écrit : dtρ+Vmdxρ=ft,x. Cas 2 : vitesse linéairement décroissante : vρ=Vm1-ρ. Dans ce cas, l'équation du trafic routier s'écrit : dtρ+Vm1-2ρdxρ=ft,x. [...]