Suites et séries numériques - La série de Taylor

Thèmes abordés

Suite mathématiques, série de Taylor, série convergente, série divergente, notation sigma, règle de d'Alembert

Résumé du document

Cet exercice corrigé de niveau licence porte sur le calcul des séries de Taylor.

Extraits

[...] En utilisant la dérivée de la série de Taylor de , on trouve . On en déduit que . On pose . La série est convergente si , donc et enfin . On étudie aux bornes de l'intervalle : Pour : , qui est une série divergente. Pour on a la même chose. La série de Taylor est donc convergente sur l'intervalle . On ne peut pas substituer à dans la série de trouvée en car on ne peut pas respecter le même rayon de convergence. [...]

[...] Suites et séries numériques - La série de Taylor On a On utilise la série de Taylor de et on substitue à . On sait que . On en déduit que . On utilise la rège de d'Alembert pour trouver l'intervalle de convergence. Pour on pose . La série est convergente si , donc et enfin . On étudie aux bornes de l'intervalle : Pour : qui est une série divergente. Pour on a la même chose. La série de Taylor est donc convergente sur l'intervalle . [...]