Suites, séries, convergences et divergences

Thèmes abordés

Séries alternées, séries de Riemann, série de Taylor, série de Maclaurin, série entière, suite convergente, suite divergente, théorème de croissance comparée

Résumé du document

Ce document contient 10 exercices corrigés sur le thème des suites et des séries.

Extraits

[...] Exercice 2 On a nn+1 =n+1-1n+1 =1n -1n+1 Donc en termes de somme il vient que la somme recherchée est égale à : n=1infinity1n -1n+1 =n=1infinity1n -n=1infinity1n+1 Or on sait que l'exponentielle vaut ex=n=0infinityxnn et donc on en déduit que e=n=0infinity1n ainsi : n=1infinitynn+1 =n=0infinity1n -1+-n=-1infinity1n+1 Ainsi on trouve que la somme de la série vaut 1. On a 15n+1 donc a fortiori 53n-2>5n+1 et finalement 53n-23n-2 >=5n+13n-2 . Or on sait que ex=n=0infinityxnn Converge pour tout x donc en particulier pour x=5 et e5=n=0infinity5nn . [...]

[...] On en déduit que cette série est convergente pour u dans et ainsi, la série intialement étudiée converge sur l'intervalle IX. Exercice 9 On note un l'argent à la fin du mois (donc après que les intérêts aient été versées). A chaque mois, le compte gagne du total présent sur le compte. De plus, un dépôt de 100$ est effectué à chaque début de mois. A la fin du premier mois on a donc 100x1,066=106,6$. A la fin du deuxième mois on aura (106,6+100)x106,6≈220,24$. [...]

[...] Ainsi, la série est convergente pour y0,51/2. Prenons alors 2x+1=0 et la série converge, prenons x=0,5 la série s'écrit alors n=1infinity2n-12nn²=12n=1infinity1n² Cette sérié de Riemann converge Finalement, l'intervalle de convergence de la série est donc -5;5. Exercice 7 Le développement en série de Maclaurin est équivalent au développement de Taylor autour du point 0. C'est à dire si on considère une fonction il vaut n=0infinityf(n)(0)n xn. Or ici on a : fnx=12nex2 donc fn0=12n On a alors : ex2=n=0infinityxn2nxn =n=0infinityanxn avec an=12nxn . [...]

[...] Notons de plus un le montant qu'il resta à payer après le nième semestre (sachant que ce montant est celui auquel on à enlevé un versement et ensuite appliqué l'intérêt composé). Initialement on a bien sûr un total de dette de 14 000$. On en déduit qu'à la fin du premier semestre il reste à payer : v1=(14000-v)x1,064 et à la fin du deuxième il restera donc v2=(v1-v)x1,064 soit v2=14000-vx1,064-vx1,064=(14000x1,064-v1,064+1)x1,064. PoundOn en déduit finalement que vn=14000x1,064n-v1n1,064n. De même que précédemment on déduit : 1n1,064n=1-1,064n+11-1,064-1. [...]

[...] Exercice 5 Considérons n+1n2+2, on a immédiatement n+1n2+2~+infinity1n malheureusement on ne pourra donc rien déduire de l'absolue convergence ici (car la série harmonique diverge). Par contre, la suite qui à n associe n+1n2+2 est une suite réelle, positive qui tend vers 0. On peut montrer qu'elle est décroissante car en effet pour si on pose fx=x+1x2+2 pour on a : f'x=x2+2-2xx+1(x2+2)²=-x2-2x+2(x2+2)² [...]