Suites récurrentes, fonctions réciproques, primitives et intégrales

Thèmes abordés

Suites récurrentes, fonctions réciproques, fonctions primitives, fonctions intégrales

Résumé du document

Pour chacune des 17 affirmations suivantes, indiquer si elles sont vraies ou fausses et justifier la réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

Extraits

[...] Soit On a et D'où Par ce contre-exemple on montre que l'affirmation 6 est fausse. Soit définie par sur est sur son intervalle de définition et : ; sur l'intervalle de définition sauf pour . Ainsi est strictement croissante. Finalement est une bijection. De plus On a alors . n'est pas dérivable en 0. L'affirmation 7 est donc fausse. Soit la fonction définie par : est définie et dérivable sur R. Appelons D le produit des 2 dénominateurs : est donc une fonction constante. Or L'affirmation 8 est donc vraie. [...]

[...] Ainsi la fonction dérivée de , dont la dérivée est déjà continue sur chaque intervalle et , peut se prolonger par continuité en 0. Cela signifie que la dérivée de existe en 0 et qu'elle est continue en ce point également. Finalement est de classe sur R. D'après l'expression de la dérivée, on a sur et sur . Ainsi est strictement croissante sur R. De plus, et Comme est continue et strictement monotone, on peut en déduire que est bijective de R sur R. [...]

[...] Suites récurrentes, fonctions réciproques, primitives et intégrales Questions Réponses Soit Soit la propriété : au rang La propriété est vraie au rang 0. Supposons qu'on ait , alors : On a donc La propriété étant vraie au rang 0 et héréditaire, elle est vraie pour tout Ainsi pour tout . L'affirmation 1 est vraie. Avec la relation de récurrence, on obtient : Avec la formule directe , on obtient : L'affirmation 2 est donc fausse. est donc strictement croissante. Or une suite croissante à soit une limite finie, soit tend vers quand n tend vers . [...]