Suites, limites, continuité, dérivabilité

Thèmes abordés

Suite mathématiques, limite mathématiques, continuité, dérivabilité, inégalité, sens de Césaro, théorème des gendarmes, théorème des accroissements finis, fonction tangente, fonction affine

Résumé du document

Ce document comporte trois exercices corrigés portant sur les suites et destinés à des étudiants en première année de licence de mathématiques.

Extraits

[...] La suite telle que converge donc vers 0 au sens de Césaro mais diverge au sens usuel. La réciproque de la propriété de la question 4 est donc fausse. Exercice 2 ln?(1+u)~0u et donc ln?(1+x)~0x Donc par produit : xln?(1+x)~0xxx Donc, par quotient, xln?(1+x)(1+x)13-1~0x13x Soit xln?(1+x)~0x car x > 0De plus, (1+x)13-1~013x Donc xln?(1+x)(1+x)13-1~03 on peut donc conclure que : ln?(e3x+ex)x=ln?(e3x1+1e2x)x=lne3x+ln(1+1e2x)x=3x+ln?(1+1e2x)x=3+ln(1+1e2x)x Or, et donc par composition, Donc par inverse, soit De plus, et donc par composition Par quotient, on a : et donc, par somme, En conclusion, Exercice 3 La fonction tangente est strictement croissante sur ]-PI2;PI2[ donc elle est injective. [...]

[...] Soit x∈]-PI2;PI2[ donc tanx∈R. Or, Arctan est dérivable sur R Donc : (Arctan tanx))'=(tanx)'x(Arctan'(x) De plus, Arctan (tanx)=x donc tanx)'x(Arctan'x=1 De plus, (tanx)'=1+tan2(x) donc (tanx)'>0 On en déduite que : Arctan'tanx=1(tanx)'=11+tan²x Si on pose X = tan x alors Arctan'X=11+X² En conclusion, Arctan'X=11+X² Soit la fonction f définie sur et telle que ft=Arctan t-t f est dérivable sur car somme de la fonction Arctan et d'une fonction affine toutes les deux dérivables sur donc donc f est strictement décroissante sur De plus, f0=Arctan 0-0=0 Par conséquent, donc Arctan t-t<0 soit Arctan t0 soit Arctan t>t1+t² En conclusion, ∀t∈R*+;t1+t²0. [...]

[...] Par conséquent, vn converge vers 0 au sens de Césaro soit pour ε réel positif fixé il existe un entier tel que : ; v1+...+vnn<=ε Or, vn=un-l donc : ; u1-l+...+un-ln<=ε Ce qui revient à ; u1+...+un-nln<=ε soit ; u1+...+unn-l<=ε Par conséquent, la suite converge vers l au sens de Césaro. En conclusion, si converge vers un réel l au sens usuel alors converge vers l au sens de Césaro. Soit la suite telle que Donc : Si n est paire alors u1+...+un=0 Si n est impaire alors u1+...+un=-1 On peut donc en déduire que : ∀n∈N*;-1n<=u1+...+unn<=0 Or, donc d'après le théorème des gendarmes, La suite converge donc vers 0 au sens de Césaro. Donc un diverge au sens usuel. u2n=(-1)2n=1 donc la sous-suite u2n converge vers 1. [...]

[...] Donc pour tout entier Mε u1+...+uNε-1n<=ε2 On sait que : Mε u1+...+uNε-1n<=ε2 et Nε uNε+...+unn<=ε2 Donc si on pose Kε=max?(Mε ; Nε) on a : uNε+...+unn+u1+...+uNε-1n<=ε2+ε2 Soit uNε+...+unn+u1+...+uNε-1n<=ε Or, u1+...+unn<=uNε+...+unn+u1+...+uNε-1n (inégalité triangulaire) On en déduit donc que : Kε ; u1+...+unn<=ε On peut en conclure que si un tend vers 0 au sens usuel alors un converge vers 0 au sens de Césaro. Soit une suite qui converge vers un réel l au sens usuel. Soit une suite telle que vn=un-l donc, par somme, vn converge vers 0 au sens usuel. [...]