Suites et fonctions

Thèmes abordés

Suites mathématiques, fonctions mathématiques, modèle d'évolution, calcul d'un taux, tableau de variation d'une fonction, théorème de convergence monotone, épreuve de bac

Résumé du document

Ce document comprend un sujet corrigé de mathématiques proposé pour le baccalauréat (filière scientifique) de Polynésie en septembre 2019.

Extraits

[...] Ainsi, T4= T3-0,1T32 Or, T0 T1=0,819; T2≈0,752; T3≈0,695 Donc, on a T4=O,695-0,1x0,6952=0,647>0,4 En conséquence, cette affirmation n'est pas conforme au modèle car celui-ci prévoit un taux de disponibilité des ressources en 2024 proche de 0,6. On définit la fonction f sur l'intervalle par fx=x-0,1x2. Ainsi, vérifie pour tout entier naturel Tn+1=f(Tn). Étudier les variations de la fonction f sur son intervalle de définition. Soit x∈0,1, f'x=1-0,1x2x=1-0,2x pour tout x∈0,1. 1-0,2x=0 x=5 On dresse alors le tableau de variation de f en sachant que f0=0 et f1=1-0,1x12=0,9 x f'x + fx Donc f est strictement croissante sur son intervalle de définition. [...]

[...] Déterminer la limite de la fonction P en +infinity. limt-->+infinity10000,4+3,6e-0,5t limt-->+infinitye-0,5t=limt-->+infinity1e0,5t= Par produit et par somme, limt-->+infinity0,4+3,6e-0,5t=0,4 Finalement, par quotient, limt-->+infinityPt=2500 Dresser le tableau de variations de la fonction P sur son intervalle de définition. P0=250 t 0 +infinity + P est donc strictement croissante sur son intervalle de définition. Déterminer au cours de quelle année la population de l'étang aura dépassé pour la première fois les 2000 grenouilles. On utilisera la calculatrice. Avec la calculatrice, on trouve que pour Pt≈1986 et pour Pt≈2006 donc au cours de la 7[ème] année après le début de l'étude, soit en 2028, la population de grenouilles aura dépassé les 2000 grenouilles. [...]

[...] On démontre alors que c'est vrai aussi pour l'entier supérieur, c'est-à-dire 0≤Tk+2≤Tk+1≤1 On sait que fx est croissant sur 0,1 donc les images sont rangées dans l'ordre croissant et on a Tn+1=f(Tn). Ainsi, 0≤Tk+1≤Tk≤1 ⟺f(0)≤f(Tk+1)≤f(Tk)≤f(1) ⟺0≤Tk+2≤Tk+1≤0,9=0. [...]