Les suites - Exercice corrigé niveau bac

Thèmes abordés

Suites, baccalauréat de Mathématiques, classe de Terminale, convergence d'une suite, théorème de convergence monotone, suite géométrique, entier naturel, inéquation

Résumé du document

Une entreprise souhaite se spécialiser en événementiel et s'intéresse désormais à la vente de fleurs lors de la période de la Saint-Valentin. En 2023, leur programme de livraison comptait 100 personnes inscrites. 90 % de ces inscrits se sont réinscrits l'année suivante et 20 nouvelles personnes se sont ajoutées au dispositif. En considérant qu'une relation de récurrence régisse ce processus de réinscription, on note? (u_n)?_(n?N) la suite correspondant au nombre annuel d'inscrits au programme de roses. On a ainsi u_0=100.

Extraits

[...] On souhaite résoudre l'inéquation un>=160 algébriquement. Démontrer qu'une telle résolution d'équation équivaut à résoudre l'inéquation 0,9n≤0,4. un>=160 ⟺ -100x0,9n+200>=160 ⟺ -100x0,9n>=-40 ⟺ 0,9n≤-40-100 ⟺ 0,9n≤0,4 Ainsi, résoudre un>=160 revient à résoudre 0,9n≤0,4. En utilisant les propriétés du logarithme népérien, démontrer que résoudre cette équation équivaut à résoudre nxln(0,9)≤ln(0,4). On sait que lnan=nlna donc 0,9n≤0,4 ⟺ ln⁡(0,9n)≤ln⁡(0,4) ⟺ nxln(0,9)≤ln⁡(0,4) En déduire la plus petite valeur de l'entier naturel n tel que un>=160. Il pourra être utile de vérifier ce résultat à la calculatrice. [...]

[...] D'après le théorème de convergence de monotone, on en déduit que la suite (un)n∈N converge vers un réel l≤200. On introduit une suite auxiliaire (vn)n∈N telle que pour tout n∈N, vn=un-200. Démontrer que cette suite est géométrique en précisant sa raison et son premier terme. vn+1=un+1-200 ∀n∈N vn+1=0,9un+20-200 vn+1=0,9un-180 vn+1=0,9(un-200) vn+1=0,9vn ∀n∈N. Donc (vn)n∈N est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=u0-200=100-200=-100. Démontrer ainsi que pour tout entier naturel un=-100x0,9n+200. (vn)n∈N est une suite géométrique donc vn=v0x0,9n ∀n∈N. Or vn=un-200 donc un=vn+200 ∀n∈N. [...]

[...] La consigne invite ici à raisonner par récurrence (c'est souvent le cas lorsqu'il faut démontrer « pour tout n »). Une récurrence simple suffira amplement. A noter que la proposition de rédaction ci-dessous n'est pas la seule correcte. Elle est d'ailleurs très développée pour mieux comprendre mais dans le supérieur, par souci de concision, une telle rédaction sera réduite à l'essentiel. Initialisation : Pour n=0 on a u0=100 et pour on a u1=0,9x100+20=110 100≤100≤110≤200 donc 100≤u0≤u1≤200 L'initialisation est vérifiée. Hérédité : On suppose que l'inégalité est vraie pour un entier naturel c'est-à-dire 100≤uk≤uk+1≤200. [...]