Suite d'ensemble des entiers naturels

Thèmes abordés

Suite, entier naturel, ensemble de nombres, résolution d'équation

Résumé du document

Le document résout un exercice de mathématiques concernant les ensembles d'entiers naturels.

Extraits

[...] 𝑛 𝑆𝑛 = ∑ −1𝑖 𝑈𝑖 𝑖=0 𝑖 Montrer que : ∑𝑛+𝑝 𝑗=𝑛 (−1) 𝑈𝑖 𝑈𝑛 ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁 Exercice Mathématique Soient les deux suites suivantes vn  S 2 n et wn  S2 n  Montrons que ce deux suites sont adjacentes vn1  vn  S2n2  S2n  (1)2n2 u2n2  (1)2n1u2n1  u2n2  u2n1  0 Donc vn  S 2 n est décroissante wn1  wn  S2n3  S2n1  (1)2n2 u2n2  (1)2n3 u2n3  u2 n2  u2 n3  0 Donc wn  S2 n 1 est décroissante De plus on a vn  wn  S2 n  S2 n 1  u2 n 1  0 Finalement S 2n et S 2 n 1 sont deux suites adjacentes d'où S n est convergente, soit s sa limite On sait  n  (1) u   (1) u k k 0 k k k 0 k    (1) u k k  n 1 k C'est qui est équivalent s  S n  Rn  Rn  s  Sn On sait que S 2n est décroissante et convergente vers s d'où s  S 2n De plus S 2 n 1 est croissante et convergente vers s d'où S2 n 1  s R2 n  s  S2 n  0 et R2 n 1  s  S2 n 1  0 D'où R2 n  S2 n  s  S2 n  S2 n1  u2 n 1 De même R2 n 1  s  S2 n 1  S2 n  2  S2 n 1  u2 n  2 Et impliquent Rn  un1 Et par suite Rn 1  un Ce qu'est notre que   (1) u k k n Ce qui implique n p  (1) u k k n k  un CQFD. [...]

[...] Suite d'ensemble des entiers naturels Énoncé Soit (𝑈𝑛)𝑛∈𝐼𝑁 est une suite réelle telle que 𝑈𝑛 0 (𝑈𝑛)𝑛∈𝐼𝑁 est décroissant de limite nulle. [...]