MPSI Mathématiques Physique et Sciences de l'Ingénieur, structure algébrique, algèbre, trinôme, égalité mathématiques, hypothèse de récurrence
Ce document comporte un exercice corrigé sur les structures algébriques (magmas, groupes, anneaux, corps).
[...] On a alors : x2-trAx+detA=x-λ2. D'où : x2-trAx+detA=x2-2λx+λ2 . Par identification, on trouve : λ=trA2 et λ2=det?(A) N2=A-λI2A-λI2=A2- λA-λA+λ2I2 N2=A2-trAA+detAI2=0 d'après la question Montrons par récurrence la propriété Pn : An=λnI2+nλn-1N La propriété est vraie au rang 1 : A=λI2+N d'après la définition de N. Supposons Pn vraie et montrons qu'on a alors Pn+1 vraie. An+1=AAn=A(λnI2+nλn-1N) d'après l'hypothèse de récurrence. Et comme A=λI2+N, on obtient : An+1=λI2+NλnI2+nλn-1N An+1=λn+1I2+nλnN+λnN+nλn-1N2 D'après ce qui précède, on a : N2=0 On obtient : An+1=λn+1I2+(n+1)λnN. [...]
[...] Ainsi, on peut écrire : x2-trAx+detA=(x-λ)(x-μ) D'où : x2-trAx+detA=x2-λ+μx+λμ Par identification, on trouve : λ+μ=tr(A) et λμ=det?(A) On a : BC=1λ-μλ+μ(A-μI2)(A-λI2) BC=1λ-μλ+μA2-λA-μA+λμI2 BC=1λ-μλ+μA2-tr(A)A+det?(A)I2=0 La dernière égalité étant obtenue grâce à la question 1). Par des calculs similaires, on trouve CB=0. B+C=1λ-μA-μI2-A+λI2=I2 λB+μC=λλ-μA-μI2+μμ-λ(A-λI2) λB+μC=1λ-μλA-λμI2-μA+λμI2 λB+μC=λ-μλ-μA=A De B+C=I2, on tire : BxB+BxC=B. Or BC=0. On trouve B2=B. De B+C=I2, on tire : CxB+CxC=C. Or CB=0. On trouve C2=C. Montrons par récurrence la propriété Pn : An=λnB+μnC La propriété est vraie au rang 1 : A=λB+μC d'après la question précédente. Supposons Pn vraie et montrons qu'on a alors Pn+1 vraie. An+1=AAn=A(λnB+μnC) d'après l'hypothèse de récurrence. [...]
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