Statistiques - Test du Khi d'ajustement

Thèmes abordés

Statistiques, test du Khi d'ajustement, moyenne, variance, probabilités, loi de Poisson

Résumé du document

TD de statistiques composé de deux exercices corrigés

Extraits

[...] On obtient les valeurs suivantes : xi ni ni*xi (xi-moyenne)^2 ni*(xi-moyenne)^2 2 3 6 25.069 75.208 3 8 24 16.056 128.445 4 14 56 9.042 126.584 5 17 85 4.028 68.473 6 20 120 1.014 20.279 7 23 161 0.000 0.001 8 19 152 0.986 18.737 9 16 144 3.972 63.556 10 11 110 8.958 98.542 11 7 77 15.944 111.611 12 4 48 24.931 99.722 13 2 26 35.917 71.833 Moyenne 7.007 Variance 6.132 Lorsqu'on regarde la distribution des valeurs, on peut penser qu'elle suit une loi de Poisson de paramètre En effet, les effectifs sont plus élevés dans les classes centrales, et ils diminuent fortement aux classes aux extrémités. De plus, on constate que la moyenne et la variance sont assez proches, ce qui est le cas pour une loi de Poisson. Enfin, il s'agit d'une loi discrète. Comme proposé par l'énoncé, on arrondit le paramètre de la loi pressentie à l'entier le plus proche. On considère donc une loi de Poisson . On va réaliser un test du Khi 2 d'ajustement au risque de 5%. [...]

[...] Montants Oi Ti (Oi-Ti)^2 (Oi-Ti)^2/Ti [20;40[ 8 0.035 10.493 6.213 0.592 [40;60[ 65 0.184 55.110 97.804 1.775 [60;90[ 150 0.563 168.794 353.216 2.093 [90;110[ 72 0.184 55.110 285.258 5.176 [110;130[ 5 0.035 10.493 30.168 2.875 Sommes 300.000 1.000 300.000 772.660 12.511 On obtient un Khi 2 calculé de : . On a 5 classes donc pour une loi normale, on va considérer un Khi 2 avec degrés de liberté. En lisant une table du Khi pour un risque à on trouve une valeur critique . Pour un risque à on trouve une valeur critique . On a dans les deux cas donc on va rejeter l'hypothèse (au risque de se tromper de selon laquelle la distribution suit une loi normale de moyenne 75. [...]

[...] On va tout d'abord calculer la moyenne et la variance empirique de la distribution : Montants xi ni ni*xi (xi-moyenne)^2 ni*(xi-moyenne)^2 [20;40[ 30 8 240 2037.018 16296.142 [40;60[ 50 65 3250 631.684 41059.489 [60;90[ 75 150 11250 0.018 2.667 [90;110[ 100 72 7200 618.351 44521.280 [110;130[ 120 5 600 2013.018 10065.089 Moyenne 75.133 Variance 373.149 On va calculer les effectifs théoriques. Pour cela on utilise la variable pour se ramener à une loi normale centrée réduite. On utilise ensuite la table de la loi normale centrée réduite pour trouver les probabilités d'être dans chacune des classes. On calcule ensuite les effectifs théoriques, le carré des écarts (entre observés et théoriques) afin de calculer le Khi 2 empirique. [...]

[...] xi Oi Ti (Oi-Ti)^2 (Oi-Ti)^2/Ti 0.001 0.131 0.017 0.131 1 0.006 0.919 0.845 0.919 2 3 0.022 3.217 0.047 0.015 3 8 0.052 7.507 0.243 0.032 4 14 0.091 13.137 0.746 0.057 5 17 0.128 18.391 1.935 0.105 6 20 0.149 21.456 2.121 0.099 7 23 0.149 21.456 2.383 0.111 8 19 0.130 18.774 0.051 0.003 9 16 0.101 14.602 1.954 0.134 10 11 0.071 10.222 0.606 0.059 11 7 0.045 6.505 0.245 0.038 12 4 0.026 3.794 0.042 0.011 13 2 0.014 2.043 0.002 0.001 14+ 0.013 1.845 3.403 1.845 Sommes 144.000 1.000 144.000 14.641 3.560 Note : on rajoute les lignes pour , et de façon à avoir une somme de probabilité égale à 1 et couvrir toutes les valeurs possibles de la loi de Poisson théorique. On obtient un Khi 2 calculé de : . On a 12 valeurs de donc pour une loi de Poisson, on va considérer un Khi 2 avec degrés de liberté. En lisant une table du Khi pour un risque à on trouve une valeur critique . On a donc on ne va pas rejeter l'hypothèse (au risque de se tromper de selon laquelle la distribution suit une loi de Poisson de paramètre . [...]