Statistiques non paramétriques

Thèmes abordés

Statistiques non paramétriques, trigonométrie, histogramme, espace vectoriel, inégalité triangulaire, fonction, variable aléatoire

Résumé du document

Ce document se compose d'un exercice théorique corrigé sur les statistiques non paramétriques.

Extraits

[...] On pose SD=Vectφj un sous espace vectorielle de L20;a. La famille φ1,φ ,φ2d,φ2d+1 est alors une base orthonormée de SD de L20;a. EDx= E1nj=1Dφjxi=nδiφjZi= E1nj=1Di=nδiφjZiφjx = Ej=1D1ni=nδiφjXi φjx=Ej=1Daj φjx= EfD avec aj=1ni=nδiφjXi la fonction estimée  par D=fD est donc la fonction densité =f Ef-fD2=f-fD2+EfD-fD2où fD=j=1Daj φjx et aj=EφjXi ∀x,y∈0,a, on a  x- y≤C x-yα On sait que la base des histogrammes est fD=j=1Df,φjD1j-1D;jD On a alors -D 2=0afx-Dj=1Df,φj2dx =j=1dj-1DajDafx-f,φj2dx= j=1dj-1DajDafx-Dt-1DatDafudu2dx=j=1dj-1DajDaDt-1DatDafx-fudu2dx ≤j=1dj-1DajDaDt-1DatDafx-fudu2dx par inégalité triangulaire ≤C 2j=1dj-1DajDaDt-1DatDax-uαdu2dx ≤C 2j=1dj-1DajDaDt-1DatDaaDαdu2dxcar x-u≤aD = C 2j=1dt-1DatDaa2aD2αdx=C 20aa2aD2αdx=C 2a3aD2α et on prend Clip=C 2a3+2α On a d'après 4. [...]

[...] Statistiques non paramétriques SZx=PminX1,C1>x=PX1>x∩C1>x =PX1>x PC1>x car Xi 1≤i≤nindependant de Ci 1≤i≤n =SZxxSCx par définition 1ère exemple: Base trigonométrique: ∀j∈1,d, avec d impair, ∀x∈0,a,φ1x=1φ2jx=2xcos2PIjxφ2j+1x=2xsin2PIjx On pose φjx=1aφjua avec x=ua et SD=Vectφj un sous espace vectorielle de L20;a. La famille φ1,φ ,φ2d,φ2d+1 est une base orthonormée de SD de L20;a. Base d'histogramme réguliers: On définit φj1≤j≤Dpar ∀x∈0,a, φjx=D1j-1D,jDx, et on pose φjx=1aφjua. [...]