Les statistiques descriptives - publié le 13/07/2024

Thèmes abordés

Statistiques, loi de ? ?^2, statistiques descriptives, modèle de régression, matrice, Pythagore, loi normale, théorème de Cochran

Résumé du document

Le document est un devoir corrigé de niveau licence. Il est composé de 4 exercices sur les statistiques descriptives.

Extraits

[...] Eσ2=σ2 Exercice 2 : Choix de modèles On a l'écriture matricielle qui est la suivante : Y=β112.1+β212X2+?12 =1X2β112β212+?12 =1X2.β(12)+?(12) Avec β(12)=β1(12)β2(12) =X(12). β(12)+?(12) Donc, EY=Eβ1(12).1+β2(12)X2+?12 =β112.1+β212X2 =X(12). β(12) On a Y123=X(123)β123+? qui est de dimension 1xn Et EY123=EX123β123=X(12). β(12) Ainsi : EX123β123-X12. β12=0 VY123=||PX123?Y||2n-3 traceVY123=3σ2 Comme BiaisX123β123=0, On a traceEQMX123β123=BiaisX123β123+traceVY123 =traceVY123 =3σ2 traceEQMX13β13=BiaisX13β13+traceVY13 =BiaisX13β13+2σ2 =||PX13?X12β12||2 Avec, BiaisX13β13=E(X13β13)-X12β122 =|PX(13)X12β12-X12β12|2 Trace EQMX12β12= BiaisX12β12+traceVY12 =BiaisX12β12+2σ2 =2σ2 car BiaisX12β12=0 (d'après ) On choisit le modèle associé à la trace EQM β puisqu'il a la plus petite trace. [...]

[...] On a : =||(PX+PX?)Y-PXξY On a : Y-Yξ2 =PX?Y2+|PXY-PXξY|2 =n-pσ2+||PX?ξPXY+PXξPXY-PXξY||2 Nous avons : Y-Yξ2=I-PXξXβ+I-PXξ?2 =I-PXξXβ2+n-ξσ2 (par le théorème de Pythagore aléatoire) =PX?ξXβ2+n-pσ2 On peut aussi le montrer on se servant de ce qu'on a fait précédemment : Y-Yξ2=n-pσ2+||PX?ξPXY+PXξPXY-PXξY||2 =n-pσ2+||PX?ξPXY+PXξY-PXξY||2 =PX?ξXβ2+n-pσ2 On a : βξ=Xξ'Xξ-1Xξ'Y =[Xp'Xp-1Xp']ξ Y =βpξ |Y-Yξ|2=n-pσ2+PX?ξXβ2+n-pσ2 =n-pσ2+XξCβξC2 =n-pσ2+βξC'XξC'XξCβξC =n-pσ2+j∉ξβj2 Où βj est la je coordonnée de βjp On a : σ2Cpξ=Y-Yξ2-n-2ξσ2 =n-pσ2+j∉ξβj2-n-2ξσ2 (en remplaçant le résultat obtenu précédemment) =j∉ξβj2+2ξ-pσ2 =j=1pβj2-j∈ξβj2-pσ2+2|ξ|σ2 Nous mettons enfin pσ2 dans la première somme de p termes et 2|ξ|σ2 dans la seconde somme de termes. On obtient ainsi : σ2Cpξ=j=1pβj2-σ2-j∈ξ(βj2-2σ2) Si le modèle * ne contient aucune variable explicative, on préfère le modèle à une variable si l'on a β12>2σ2. En effet, on a la différence des CP : Cp0-Cp1=β12-2σ2>0 Donc un ensemble de cardinal 1 conduit à une diminution du σ2CP. [...]

[...] Dans ce cas, afin de choisir le modèle ayant la plus petite tr(EQM) en comparant ||PX1?X12β12||2 et σ2. Exercice 3 - Matrice Barycentre=1ni=1n|| Xij-μjσj-1ni=1nXij|| Or, 1ni=1nXij= Xij-μjσj Donc : barycentre=0 La projection de l'échantillon X sur a s'écrit : PaX=X.a La variance empirique de PaX vaut à une constante près donc : PaX'.PaX=a'.X'.X.a qui est diagonalisable dans une base orthonormée. X'X est une matrice symétrique réelle définie positive donc diagonalisable dans une base orthonormée Notons P le changement de base associé et Δ=Diag(λ1,...,λN) la matrice diagonale formée de son spectre a'.X'.X.a =(a'.P').Δ.P.a=v'.Δ.v Les valeurs de (λ1,...,λN) de la diagonale de Δ sont rangées en ordre décroissant. [...]