Statistiques appliquées

Thèmes abordés

Statistiques, probabilités, intervalle de confiance, inégalité de Hoeffding, Excel, tableur

Résumé du document

Ces 3 exercices corrigés de niveau licence ont pour thème le calcul de statistiques (moyennes, probabilités, intervalles de confiance, etc.)

Extraits

[...] La proportion empirique observée est donc 2%. On cherche à construire un intervalle de confiance au seuil de 90% pour la proportion de pièces défectueuses dans la production. Etant donné que les pièces tirées n'affectent pas leurs états respectifs, on peut modéliser ce tirage par une loi binomiale, puisqu'on fait des tirages avec remise. Dans cette loi, on spécifie p la probabilité de succès (que la pièce soit défectueuse). L'écart-type de la distribution est soit 0,0196. On construit l'intervalle de confiance comme suit : Où ? [...]

[...] On réutilise la formule calculée plus haut pour l'intervalle de confiance, en posant : On sait que ? est constant, il suffit de choisir une taille d'échantillon n qui réalise cette égalité. A une précision de nous n'avons besoin que d'un échantillon de 173 pièces. III. Exercice 3 On suppose que la longueur des pousses de jeunes arbres suit une loin normale de moyenne 80 et d'écart-type 2. On note N (80,2). Nous ne sommes pas sûrs de la moyenne de la longueur de pousse d'arbres, et on teste pour cette moyenne. [...]

[...] Statistiques appliquées I. Exercice 1 On suppose que le poids d'une population de veaux suit une loi normale de moyenne 500 et d'écart type 40. On note la loi N (500,40) et on tire un échantillon de 80 individus. Afin de calculer la probabilité d'un événement donné, on centre et réduit cette distribution avec la formule suivante : (X-500) soit soustraire la moyenne, puis diviser par l'écart-type afin d'obtenir une distribution normale N Pour calculer le nombre de veaux pesant plus de 560 kg, on énonce la probabilité 'Le veau pèse plus de 560 kg. [...]

[...] La probabilité qu'un veau soit touché est de 80%. On peut considérer que la distribution de la probabilité d'infection suit une loi binomiale notée B (0.8,400). La probabilité que 300 individus au moins soient touchés revient à calculé avec la fonction de densité cumulée la conjonction de maladie de 300 veaux consécutifs. - On utilise l'expression de Hoeffding, soit : Avec n la taille de l'échantillon, k le nombre de succès (maladie du veau) et p la probabilité de succès (le veau tombe malade, cela donne 13,53% - la probabilité qu'au plus 300 veaux soit malades. [...]

[...] On calcule la taille minimale de l'échantillon afin que le risque d'espère soit inférieur ou égal à 5%. Pour ce faire, on rappelle la formule de construction d'intervalles de confiances, soit : Cette fois-ci, z sera égal à 1,96, puisque nous cherchons un intervalle de confiance à 95% qu'on obtient en cherchant les valeurs de ligne et de colonne qui correspondent à 97,5% à droite à gauche). Cela donne un intervalle de confiance 80+/-1,96*2/?n. On calcule le risque de première espèce comme suit : Ce qui nous permet de donner une expression de la p-valeur en fonction de la taille de l'échantillon. [...]