Statistique appliquée - Fiabilité

Thèmes abordés

Statistique appliquée, statistiques, fiabilité des systèmes, loi de Weibull, espérance mathématique, probabilités, fonction de fiabilité

Résumé du document

Ce devoir corrigé de niveau Master est composé de 3 exercices sur la statistique appliquée, et précisément sur les méthodes appliquées pour assurer la fiabilité des systèmes.

Extraits

[...] est simplement le coefficient directeur de la régression linéaire. Les valeurs ? sont obtenues à partir de la constante qui dépend de ? et Les valeurs sont rapportées sur le tableau ci-dessus. On utilise la fonction cumulée de densité de la distribution Weibull pour déterminer un seuil de fiabilité à 90% soit une période pour laquelle En utilisant la fonction de densité cumulée, la périodicité d'interventions préventives pour garder une fiabilité à 90% sera fonction des paramètres ? et ? [...]

[...] dans les deux équations pour les égaliser, et on obtient : ln(0,105)-? ln 5 = ln(1,61) - ? ln 10 La résolution nous donne ?=3,933 qu'on arrondi à Après avoir déterminé on replace par sa valeur dans une des deux équations plus haut, ce qui nous donne ?=8,77. À partir du relevé sur un échantillon de 100 appareils, on trace le nuage de point, ainsi que la droite de régression sur le graphe ci-dessous. On n'oublie pas de réécrire les données de F pour bien retrouver les appareils survivants (soit 100-t). [...]

[...] Statistique appliquée - Fiabilité I. Exercice 1 On étudie la fiabilité d'un appareil dont la distribution suit une loi exponentielle. A partir des données de durée de vie d'un échantillon de 100 appareils, on procède par une transformation logarithmique de l'expression où t est une période de temps exprimée en centaines d'heures. On pose pour écrire où ? est l'erreur d'estimation. Pour obtenir une estimation du paramètre on utilise la méthode des moindres carrés. L'estimateur du paramètre ? de l'équation suivante : s'obtient comme suit : Le graphe ci-dessous reprend les données du tableau initial, et donne l'estimation MCO du paramètre ? [...]

[...] Le coefficient de détermination R2=0,987, ce qui veut dire que notre modèle arrive à expliquer 98,7% de la variance dans le nombre d'appareils en état de marche d'une période à l'autre. La formule de calcul du R2 s'écrit comme suit : où On en déduit que le temps de survie des appareils suit bien une loi exponentielle de paramètre ? = 0,2. QED. Ayant calculé la valeur du paramètre nous pouvons maintenant calculer R et R Soit : R =e-0,2*5=36,78% R =e-0,2*6=30,12% On calcule la probabilité de l'évènement suivant : 'Si un appareil est en fonction à t = quelle est la probabilité qu'il le soit encore à t = 6'. [...]

[...] Nous avons une distribution de Weibull et ?=26. D'une manière générale, on sait que le moment n d'une variable X suivant une distribution de Weibull s'écrit comme suit : Où est la fonction gamma, avec L'espérance mathématique étant un moment d'ordre on écrit : soit : 0,3071 La variance étant un moment de rang on écrit : soit : 0,0943 L'écart-type est la racine carrée de la variance, d'où 0,307 III. Exercice 3 Les données sont reportées sur le tableau ci-dessous. [...]