Séries entières et espaces vectoriels euclidiens et hermitiens

Thèmes abordés

Licence Mathématiques, séries entières, intégrale, série convergente, série de fonctions, convergence de série entière, séries de Fourrier, espace vectoriel, euclidien, hermitien

Résumé du document

Vous trouverez au sein de ce document l'ensemble des consignes de mathématiques, ainsi que leur correction portant d'une part sur les séries entières et d'autre part, sur les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens.
Il s'agira, entre autres, de l'étude de la convergence d'une série entière, des séries de Fourrier, des vecteurs isotropes, etc.

Extraits

[...] Sa matrice dans la base canonique est alors : [ ] On en appliquant la réduction de Gauss : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( La signature de est donc ( Recherche du noyau de Notons : la matrice de la forme bilinéaire associée à la forme quadratique dans la base canonique (voir question 1). On cherche les vecteurs tels que . On obtient le système d'équations : Ce système est équivalent au système suivante : Ou encore : La seule solution du système est le vecteur ( . Le noyau de est donc réduit au vecteur nul. On sait que la réduction de Gauss nous donne des carrés de formes linéaires indépendantes entre elles. Ainsi ( si et seulement si chaque forme linéaire est nulle. [...]

[...] D'où Finalement : Exercice 3 - Soit . Soit valable pour tout - , on a alors ( ( . Comme c'est car ( on en déduit que Réciproquement, soit Ainsi Alors ( . ) (on a alors en particulier, D'où est bien le noyau de . On a alors . Pour tout comme - ( Supposons ( . ⃗⃗ Alors ) ⃗ d'après 1). De plus, est non dégénérée on a : . On a alors ( ( et ( car pour tout Donc . [...]

[...] (on Finalement on obtient, pour ( ( ( Si (et ) on obtient : ( ( [ ] ) Pour la deuxième intégrale, nous avons fait le changement de variable , donc ou encore ( ( ( ) (On a pu simplifier car Si (et On sait que est paire, donc est impaire. On obtient alors : ( Les calculs ont été effectués pour mais comme d'après la question son expression est encore valable en On a directement ( Pour : ( ( ( Par continuité en , Pour : ( ( ( Par continuité en d'après l'expression de . est continue sur et en On trouve finalement : ( sur . ( Exercice 4 Comme est différent de , la fonction De plus, quand tend vers . [...]

[...] Ainsi, sur ( ∑ D'après les questions précédentes, on a : ( . sont donc tous nuls. est une fonction continue par morceaux. De plus ( continue sur . D'où : ( étant une fonction . Ainsi ( , ∑ on a : est ( ∑ On obtient : ∑ ( Puis : ∑ ( On a de la même manière : ( ∑ On obtient : ∑ Finalement : ∑ Exercice 2 est une fonction continue par morceaux et -périodique. [...]

[...] Puisque existe une base de ( et ( ( ) est un sous-espace vectoriel de E de dimension ( telle que les vecteurs appartiennent à ( . n'appartienne pas à et telle que , il Ecrivons alors : et étant des formes linéaires, il existe avec On a alors : ( ( dans tels que ( ( . ( ( ( ( De même ( ( n'appartient pas à puisque et ( ( ( ( et ( Puisque ( , on peut écrire : On obtient : ( ( Cette égalité étant valable pour tout de on en déduit que avec appartenant à . [...]