Régression et loi des sinus et cosinus - Exercices corrigés

Thèmes abordés

Régression, corrélation, coefficient de détermination, coefficient de corrélation, loi des sinus, loi des cosinus, relation de Chasles

Résumé du document

Le document est un ensemble d'exercices corrigés de mathématiques sur les thèmes de la régression avec coefficients de détermination et de corrélation, et loi des sinus et des cosinus.

Extraits

[...] Corrigé : Les deux équations A+B+C=1800 ⇒A+200+C=1800⇒A+C=1600 AC2=AB2+BC2-2BAxBCxcosB Démonstration : La relation de Chasles permet d'écrire : AC=AB+BC AC2=AB+BC2 AC2= AB2+ BC2+2AB.BC AC2= AB2+ BC2-2BA.BC AC2= AB2+ BC2-2xBAxBCxcosBA.BC AC2= AB2+ BC2-2xBAxBCxcosB Or : AC2=AC ; AB2=AB ; BC2=BC ; BA=BA ;BC=BC D'où : AC2=AB2+BC2-2BAxBCxcosB ⇒225=900+BC2-2x30xBCxcos200 ⇒BC2-60xBCxcos200+675=0 L'ensemble de relations de la loi des sinus et la version la plus appropriée de la loi des cosinus L'ensemble de relations de la loi des sinus est la suivante : BC sinA=AC sinB=AB sinC=BCxACxAB2S est la surface du triangle oblique ABC) La loi des cosinus appelée aussi formule d'Al - Kashi est la suivante : BC2=AC2+AB2-2ACxABxcosA Résolution pour trouver l'angle A avec deux méthodes différentes Calculons d'abord BC ⇒BC2-60xBCxcos200+675=0 ⇒BC2-56,4xBC+675=0 ∆ = b2-4ac ∆ = 56,42-4x1x675 ∆ = 480,96 ∆ ≈21,93 x1=56,4-21,932≈17 x2=56,4+21,932≈39 x1=17AB=30 Nous avons deux valeurs positives pour BC Prenons par exemple BC = 17 pour trouver l'angle A par deux méthodes Méthode 1 : la loi des sinus BC sinA=AC sinB=AB sinC=BCxACxAB2S On déduit : BC sinA=AC sinB ⇒ sinA=BCxsinBAC ⇒A=sin-1BCxsinBAC ⇒A=sin-117xsin20015≈22° Méthode 2 : la loi des cosinus BC2=AC2+AB2-2ACxABxcosA ⇒cosA=AC2+AB2-BC22ACxAB ⇒A=cos-1152+302-1722x15x30≈ 22° Pour l'exemple BC = 39, en suivant la même démarche nous laissons le lecteur le plaisir de calculer. [...]

[...] Régression et loi des sinus et cosinus - Exercices corrigés Exercice n°1 Analyse de régression, détermination et corrélation Veuillez utiliser le fichier joint et exécuter une régression pour prédire les points marqués à un examen en fonction des heures passées à étudier. Vous devriez trouver à la fois R et R au carré dans vos résultats. Dans ce devoir, vous devez calculer le coefficient de détermination et le coefficient de corrélation et interpréter leurs significations Heures Points Corrigé : Heures Points x2 y2 x x y Total Il y a 10 observations donc n = 10 Calcul de la moyenne X X=i=1n=10xiN=69510=69,5 Calcul de la moyenne Y Y=i=1n=10yiN=63510=63,5 Le coefficient de corrélation linéaire est donné par : rx,y=ni=1n=10xiyi-i=1n=10xixi=1n=10yini=1n=10xi2-i=1n=10xi2ni=1n=10yi2-i=1n=10yi2 rx,y=(10)x(48050)-695x635(10)x(53025)-6952(10)x(44025)-6352 rx,y=3917547225x37025= rx,y=0,9368 Soit Interprétation Nous avons une forte corrélation donc on peut conclure que les variables x et y sont corrélées positivement Dans le cas que nous avons le coefficient de détermination R2 est donné par : R2=ni=1n=10xiyi-i=1n=10xixi=1n=10yini=1n=10xi2-i=1n=10xi2ni=1n=10yi2-i=1n=10yi22 R2=rx,y2 R2=0,93682 R2=0,8776 Interprétation 87,76% de la variable x (des heures passées) sont expliquées par la variable y (les points marqués). [...]

[...] Exercice n°2 Problèmes de la loi des sinus et des cosinus Résoudre pour α dans le triangle oblique ABC ; AB = 30 AC = 15 et angle B = 200 Tapez les deux équations en remplaçant les nombres du diagramme. Tapez l'ensemble de relations de la loi des sinus et tapez la version la plus appropriée pour utiliser la loi des cosinus pour cette solution. Résolvez pour A en utilisant les deux méthodes (montrez le travail étape par étape). [...]