Programmation linéaire

Thèmes abordés

Coefficients de Leontief, calcul, vecteurs orthogonaux, matrice, droite, variables

Résumé du document

Ce document présente des exercices corrigés de programmation linéaire.

Extraits

[...] Le problème est donc un problème d'optimisation linéaire sous contraintes sous le format donne dans l'énoncé. Nous avons représenté ci-dessous les différentes contraintes du problème : La droite en orange représente la première contrainte, La droite en gris la seconde contrainte, (iii) La droite en bleue représente la troisième contrainte. Le domaine S des solutions admissibles est indiqué sue le graphique « en dessous » des différentes courbes. au sein du domaine des solutions admissibles, la manière la plus simple de déterminer le maximum est de tester sur les différents points ou les contraintes se rencontrent ou a l'endroit où elles croisent les axes. [...]

[...] Le problème est alors de maximiser la fonction 4 * x1+5* x2. Etudions ensuite les contraintes auxquelles le fabricant fait face. Tout d'abord il ne dispose que de 300 kg de sucre. Compte tenu de la composition du yaourt B (le sucre n'étant pas présent dans le yaourt ou une unité de sucre est nécessaire pour produire une unité de yaourt on peut déjà pose que x2 300. La consommation de fraise doit ensuite se répartir entre les deux yaourts. [...]

[...] I3-A-1xD=BxD P=1126x 1624287721681327256188x200200400=600800800 A long terme et dans une situation de concurrence parfaite, le prix est égal au cout unitaire, on peut écrire, soit P le vecteur des prix et soit V le vecteur de la valeur ajoutée et la matrice transposée de A : ATP Avec AT= 100010001-016131801438580=-1-16-13181-14-38-581 et P=608040 Le calcul du vecteur de la valeur ajoutée donne alors V=100/3125/2-65/2. On constate dans le calcul précédent que la valeur ajoutée de la troisième branche est négative, en écrivant 0 en fonction uniquement P3. P3 supérieur à 72,5 permet d'avoir une valeur ajoutée positive ou nulle. Exercice 3 : Etudions le problème proposé. Le fabricant cherche à maximiser son profit. [...]

[...] Dans notre cas une solution respectant les contraintes est par exemple y2, y3) = Car nous avons 2 *y1 +y2 = 4 et y1 +2*y2 + y3 = 5. Et la fonction z qui vaut 800 + 2*700 = 2200. Il s'agit donc de l'optimum. Une façon de résoudre directement le problème dual pourrait entre de le ramener sous une forme canonique en introduisant des variables supplémentaires pour traduire les inégalités des contraintes en égalité et ensuite appliquer l'algorithme du simplexe. [...]

[...] Ici le coefficient a21 = 1/6 représente la proportion de la production de bien 1 nécessaire a la production du bien 2. Pour le coefficient a32, il est de 1/4 signifiant que pour produire une unité du bien b3, on a besoin de de la production du bien b2. La matrice I3 - A est la suivante : 1-1/8-3/8-1/61-5/8-1/3-1/41. On calcule le déterminant utilisant la décomposition par les cofacteurs. DET(I3-A)=1x1-58-141-(-1/8)x-16-58-131+(-3/8)x-161-13-1/4 DET(I3-A)=2732+18x-38-38x38= 5464- 1264= 4264= 2132 La matrice carrée ayant un déterminant non nul, elle est donc inversible. réalisons le calcul demande. [...]