Processus stochastiques - L'opportunité d'arbitrage

Thèmes abordés

Mathématiques, Finance, processus stochastique, arbitrage, opportunité d'arbitrage, stratégie autofinancée, autofinancement

Résumé du document

Ce document comporte un exercice corrigé sur l'opportunité d'arbitrage et le marché financier discret.

Extraits

[...] Processus stochastiques - L'opportunité d'arbitrage M1 Math´ematiques et Finance Processus stochastiques Ann´ee 2018-2019 Fiche d'exercices n°1 Exo3. Sans opportunit´e d'arbitrage, on ne peut pas “se refaire” Ici, on se place sur Ω fini. On le munit d'une filtration (Fn )0≤n≤T o`u F0 est la tribu triviale et FT l'ensemble des parties de Ω. On munit FT d'une probabilit´e P non-redondante (i.e. tous les singletons sont de probabilit´e strictement positive). Pour un mod`ele de march´e financier discret, prouver l'´equivalence entre les affirmations suivantes : il existe au moins une strat´egie autofinanc´ee Φ telle que V0 = VT 0 et VT ; il existe au moins une opportunit´e d'arbitrage. [...]

[...] D´efinissons alors l'instant (non al´eatoire) : Φ t0 = max t ∈ T  : min Vt (ω) [...]

[...]   d 0 Φt0 + ΦTd D'apr`es l'exo cette strat´egie peut eˆ tre compl´et´ee en une strat´egie autofinanc´ee, que l'on note encore Ψ . On remarque que les ? des instants 1 t0 sont n´ecessairement nuls cause de la condition d'autofinancement. Les ? des instants t0 + 1 T ont certaines expressions Ψt0 qu'il n'est pas n´ecessaire d'expliciter. On a ainsi :    Ψt00 + ΨT0    Φ ΦT1   t + Ψ =  .  . [...]

[...] Une chose est claire : pour t t on a VtΨ = Ψt · St = 0. Pour t > t en ayant en tˆete les coefficients de Ψ qui sont nuls, calculons : et et Ψ = ∗ V (propri´et´e d'un portefeuille AF, voir cours) t X e ek (par d´efinition de la transform´ee) = Ψ0 · S0 + Ψk · ∆S k=1 = t X t X ek = Ψk · ∆S k=t0 et Φ − V etΦ . [...]

[...] ΦT 1At  reste une strat´egie AF, avec V0Ξ = 0 et plus g´en´eralement VtΞ = Ξt · St = 0 pour t t Mais ce qui change est ici : pour t > t0 et et = ∗ V (propri´et´e d'un portefeuille AF, voir cours) t X e ek (par d´efinition de la transform´ee) = Ξ0 · S0 + Ξk · ∆S k=1 = t X ek = 1A Ξk · ∆S t k=t0 = 1At 0 t X 0 e0 = (on utilise notamment ∆S k ek Φk · ∆S k=t0 Φ Φ e e Vt − Vt et (ω) = 0 et si ω On d´eduit de cette derni`ere e´ galit´e que si ω n'est pas dans At alors V et (ω) = V et Φ (ω) − V etΦ (ω) qui est strictement positif car V et Φ (ω) 0 est dans At alors V 0 etΦ (ω) t0 et V Conclusion : on a V0Ξ = 0 et pour tout on a VtΞ 0 car le processus de portefeuille non actualis´e a mˆeme signe que l'actualis´e. De plus, l'´ech´eance T , eΞ > = P(At P(VTΞ > = P(V T 0 Or At0 est de probabilit´e > 0 sinon cela contredirait la d´efinition de t donc finalement la strat´egie est bien une O.A. [...]