Algèbre, probabilités, lois de probabilités, formule des probabilités totales
Le document est un devoir corrigé composé de trois exercices distincts ayant pour thème les calculs de probabilités.
[...] Supposons vraie. Alors on a : k=1n+1k3=n(n+1)22+(n+1)3=n4+2n3+n2+4n3+12n2+12n+44 k=1n+1k3=n4+6n3+13n2+12n+44 Or on a également : n+1n+22=n2+3n+22=n4+6n3+13n2+12n+4 Ainsi : k=1n+1k3=n+1n+222 est vraie et la propriété est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=1. XΩ=1;2; . Le nombre total de boules dans l'urne est de : k=1nk=n(n+1)2 Il y a k boules numérotées donc : PX=k=k/n(n+1)2=2kn(n+1) On a : k=1nPX=k=k=1n2kn(n+1)=2n(n+1)k=1nk=2n(n+1)n(n+1)2=1 L'ensemble des couples k;PX=k définit donc bien une loi de probabilité de X. [...]
[...] On obtient : pj+1=ppj+(1-p)(1-pj) pj+1=ppj+1-pj-p+ppj pj+1=2p-1pj+1-p uj+1=pj+1-12=2p-1pj+1-p-12 uj+1=2p-1pj-p+12=2p-1pj-12 uj+1=2p-1uj est donc une suite géométrique de raison et de premier terme : u1=p1-12=1-12=12 On a donc : uj=12(2p-1)j-1+12 Exercice 2 Le nombre de tirages possibles est de : 53= =5x42=10 Ω=123;124;125;134;135;145;234;235;245;345 XΩ=1;2;3 YΩ=3;4;5 pour la partie 123 ;124 ;125 ;134 ;135 ;145 pour la partie {234;235;245} pour la partie {345} pour la partie {∅} On déduit de la question précédente : pX=1=610=0,6 pX=2=310=0,3 pX=3=110=0,1 pX=4=pX=5=pX=6=0 pY=1=0 et p6-X=1=pX=5=0 pY=2=0 et p6-X=2=pX=4=0 pY=3=110 et p6-X=3=pX=3=110 pY=4=310 et p6-X=4=pX=2=310 pY=5=610 et p6-X=5=pX=1=610 Exercice 3 Question préliminaire : Soit la propriété : k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 Ainsi est vraie. Supposons vraie. Alors on a : k=1n+1k2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=nn+12n+1+6n2+12n+66 k=1n+1k2=2n3+9n2+13n+66 Or on a également : n+1n+22n+1+1=n2+3n+22n+3=2n3+9n2+13n+6 Ainsi : est vraie et la propriété est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=1. Soit la propriété : k=1nk3=n(n+1)22 1(1+1)22=1 Ainsi est vraie. [...]
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