Probabilités - publié le 11/05/2024

Thèmes abordés

Algèbre, probabilités, lois de probabilités, formule des probabilités totales

Résumé du document

Le document est un devoir corrigé composé de trois exercices distincts ayant pour thème les calculs de probabilités.

Extraits

[...] Supposons vraie. Alors on a : k=1n+1k3=n(n+1)22+(n+1)3=n4+2n3+n2+4n3+12n2+12n+44 k=1n+1k3=n4+6n3+13n2+12n+44 Or on a également : n+1n+22=n2+3n+22=n4+6n3+13n2+12n+4 Ainsi : k=1n+1k3=n+1n+222 est vraie et la propriété est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=1. XΩ=1;2; . Le nombre total de boules dans l'urne est de : k=1nk=n(n+1)2 Il y a k boules numérotées donc : PX=k=k/n(n+1)2=2kn(n+1) On a : k=1nPX=k=k=1n2kn(n+1)=2n(n+1)k=1nk=2n(n+1)n(n+1)2=1 L'ensemble des couples k;PX=k définit donc bien une loi de probabilité de X. [...]

[...] On obtient : pj+1=ppj+(1-p)(1-pj) pj+1=ppj+1-pj-p+ppj pj+1=2p-1pj+1-p uj+1=pj+1-12=2p-1pj+1-p-12 uj+1=2p-1pj-p+12=2p-1pj-12 uj+1=2p-1uj est donc une suite géométrique de raison et de premier terme : u1=p1-12=1-12=12 On a donc : uj=12(2p-1)j-1+12 Exercice 2 Le nombre de tirages possibles est de : 53= =5x42=10 Ω=123;124;125;134;135;145;234;235;245;345 XΩ=1;2;3 YΩ=3;4;5 pour la partie 123 ;124 ;125 ;134 ;135 ;145 pour la partie {234;235;245} pour la partie {345} pour la partie {∅} On déduit de la question précédente : pX=1=610=0,6 pX=2=310=0,3 pX=3=110=0,1 pX=4=pX=5=pX=6=0 pY=1=0 et p6-X=1=pX=5=0 pY=2=0 et p6-X=2=pX=4=0 pY=3=110 et p6-X=3=pX=3=110 pY=4=310 et p6-X=4=pX=2=310 pY=5=610 et p6-X=5=pX=1=610 Exercice 3 Question préliminaire : Soit la propriété : k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6 Ainsi est vraie. Supposons vraie. Alors on a : k=1n+1k2=n(n+1)(2n+1)6+(n+1)2=nn+12n+1+6n2+12n+66 k=1n+1k2=2n3+9n2+13n+66 Or on a également : n+1n+22n+1+1=n2+3n+22n+3=2n3+9n2+13n+6 Ainsi : est vraie et la propriété est héréditaire, elle est donc vraie pour tout n>=1. Soit la propriété : k=1nk3=n(n+1)22 1(1+1)22=1 Ainsi est vraie. [...]